北京大学数学科学学院2015-年直博生摸底考试试题

北京大学数学科学学院2015年直博生摸底考试试题[e-mail]2015年4月11日1.(90分)设y=f(x)是R上的C¥函数,对任意整数k0,记Mk=supx2Rjf(k)(x)j.设m和n为两整数,0mn,试分别就下列情况,给出你的结论和证明.(1)如果Mm和Mn均有界,那么对哪些整数k,Mk有界？对哪些整数k,Mk可以无界？(2)如果limx!+¥jf(m)(x)j存在有限极限,而Mn有界,则对哪些自然数k,极限limx!+¥jf(k)(x)j也存在极限？(3)如果limx!+¥jf(m)(x)j和limx!+¥jf(n)(x)j都存在有限极限,则对哪些自然数k,极限limx!+¥jf(k)(x)j也存在极限？2.(30分)判断级数å+¥n=2(1)npn+(1)[pn]的敛散性,其中[x]表示x的取整.3.(30分)证明∫10∫101(xy)xydxdy=∫101xxdx=+¥ån=11nn.4.(25分)设A是一个n阶方阵,且n3.A是A的伴随矩阵(即A的代数余子式所组成的矩阵).试证明,若(A)̸=O(零矩阵),则A可逆,且此时(A)是A的一个纯量倍.5.(25分)设A是一个3阶实方阵,考虑A所定义的线性变换R3!R3,a!Aa(a是列向量).试证明:若AA′=A′A(其中A′是指A的转置矩阵),则上述线性变换必有一个2维不变子空间.6.(25分)设A和B是复数域C上的两个n阶方阵,并且A有n个特征值1,2,


,n,B也有n个特征值pp1,


,ppn,其中p1,


,pn是前n个素数(比如p1=2,p2=3等).试证明:Mn(C)上的线性变换X!AXB是可以对角化的.7.(25分)设A=0@2132121121A,试找出两个没有常数项的多项式f(x)和φ(x),使得下列三个条件同时成立:1).f(A)可对角化.2).φ(A)是幂零矩阵.3).A=f(A)+φ(A).8.几何部分共5道小题,每小题10分。(1)三维欧氏空间中取定直角坐标系。有一直线l过点(1,0,0)且方向向量为(0,1,1)。l绕z轴旋转生成一个二次曲面S。试写出此二次曲面的代数方程(形如f(x,y,z)=0).(2)设有一固定平面S,具有以下性质:上述直线l在绕z轴旋转过程中总是与S相交。考虑与S平行的平面族St,t2R,S0=S。试证明St\S总是椭圆.(3)试证明t值变化过程中,上述各椭圆的中心总落在一条过原点的空间定直线L上.(4)固定L上任一点p,试证明:由p向曲面S作的各条切线的切点都落在一条椭圆Gp上,且椭圆Gp所在平面是St之一.1(5)S把它在空间的补集分成内外两个连通分支,其中外部区域不包含原点。取上一小题所述椭圆G所在平面落在S外部的一点ˆp。试证明:从ˆp向S所作的各条切线之切点落在一条双曲线ˆG上,且ˆG所在平面过p点.注：这份试卷是考完后的第一天根据好友同学提供的资料进行整理的，感谢他们的辛劳，同时也祝贺他们在昨天下午清华的初试中获得成功。2