初二函数总结

函数的概念一、常量和变量：常量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量。变量：在某一变化过程中，可以取不同熟知的量，叫做变量；变量和常量的最大区别在于表示量的数值是变还是不变。此外，还要注意区分常量和变量，要结合具体的问题进行具体的分析。例（1）瓜子每千克12元，买x千克的瓜子需要花费y元，用x的代数式表示y，并指出问题中的变量与常量。（2）写出圆周长公式，并指出每个字母所代表的是常量还是变量。二、函数的概念：函数：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量。理解函数的概念，要注意以下三点：（1）函数并不是数，它是指在一个变化过程中两个变量的一种对应关系，至于这两个量是否用x、y表示是不一定的。（2）自变量x虽然可以任意取值，但在许多问题中，自变量x的取值是有范围的；自变量允许取值的范围叫做函数的定义域。对于函数的关系式，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：用数学式子来表示、用表格来表示、用图像来表示（3）对自变量x在定义域内的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应。函数的定义域与函数值定义域：函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。函数值：在定义域内取定x=a对应的y值叫x=a时的函数值。有时把y用fx来代替，所以x=a时的函数值也可以用fa来表示。如211,0,1,,12xfxffffax求例题：1．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y(千米)与行驶时间x之间的函数关系是。2．圆的面积y(厘米2)与它的半径x之间的函数关系是。3.求下列函数的定义域：（1）3()2fxx（2）2yx（3）241xfxx（4）xxxf73)(正比例函数一、概念：1、正比例：2、正比例函数：一般地，形如ykx0k（其中）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。3、待定系数法：先设出符合题意的解析式，再根据条件列出方程求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法.二、例题：例1、下列函数中，是正比例函数的是()(A)xy3(B)4xy(C)93xy(D)22xy练习1、下列函数中，y是x的正比例函数的是（）A．y=4x+1B．y=2x2C．y=-5xD．y=x练习2、若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是（）A．m=-3B．m=1C．m=3D．m-3；例2、若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk2是正比例函数，则k=_________．例3、已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．练习：1、如果txty321)2(是正比例函数，又函数852xy，当x取何值时，21yy.巩固练习一、填空题1．已知函数y＝32x，则变量y、x成，32是变量y、x之间的.2．如果正方形边长为x，那么它的周长y=.3．直角三角形中，一条直角边为4，另一条直角边为x，则它的面积S=.4．已知y与x成正比例，且当x=－1时y=3，则y与x的函数关系式是.5．在圆的周长S=2πr中，常量是，变量是.6．在y=x41中，当x＝12时，y=，当y＝12时，x=.7．已知函数y＝(m－2)32mx是正比例函数，则m=.8．当k时，函数y=kx－x是正比例函数.二、选择题9．以下各题成正比例关系的是………………………………………（）（A）圆的面积和它的半径（B）长方形的宽a一定时，周长C与宽b（C）行程问题中，当路程s一定时，速度v与时间t（D）行程问题中，当速度v一定时，路程s与时间t10．下列函数中，y是x的正比例函数的是…………………………（）（A）5xy（B）xy2（C）xy1（D）kxy11．如果变量y与变量x成正比例，变量x与变量z成正比例，则（）(A)y与z成正比例（B）y与z1成正比例（C）y与z2成正比例（D）y与z无函数关系三、简答题12、已知y与x成正比例，且当x=21时y=311，求y与x的函数关系式.13、已知y与x－2成正比例，且当x=3时y=9，求y与x的函数关系式.14、已知y与x2成正比例，且当x=－2时y=－6，求当x=4时y的值.15、已知y－3与4x成正比例，且当x=2时y=7，求当y=－5时x的值.16、如果822)3(mxmmy是正比例函数，求m的值.四、简答题17、已知y=y1－y2,y1与x2成正比例，y2与x+1成正比例；并且当x=－3时，y=19；当x=－1时y=2，求y与x的函数关系式.18、如果txty321)32(是正比例函数，又函数xy252，当x取何值时，21yy.三、正比例函数图像与性质：1、写出分别以1、2、π为比例系数的正比例函数。2、根据正比例函数y=x，（1）填写下表；x…-3-2-10123…y……（2）画平面直角坐标系(3)用表里各组对应值作为点的坐标（x，y）描出各点(4)用光滑线把各点依次连结起来正比例函数y=x的图象是经过（0，0），（1，1）这两点的直线，我们把正比例函数y=x的图象叫做直线y=x。3、画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．（１）y=2x（２）y=-2x（１）．函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：x-3-2-10123y画出图象（1）：（２）．y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x-3-2-10123y画出图象（2）：（３）．两个图象的共同点：不同点：巩固练习：在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．１．y=０.５x２．y=-０.５x比较两个函数图象可以看出：_____________________________________________总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数表达式y=kx（k≠0）k＞0k＜0图象性质1.图象是经过原点与第一、三象限的直线；2.函数y的值随x的增大而增大．1.图象是经过原点与第二、四象限的直线；2.函数y的值随x的增大而减少．例题讲解：1、正比例函数y=(m-1)x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）A.m=1B.m＞1C.m＜1D.m≥12.下列函数y=5x,y=-3x,y=1/2x,y=-1/3x中，y随x的增大而减小的是________，y随x的增大而减小且最先达到-10的是________。3.函数y=(m-4)552mmx的图象是过一、三象限的一条直线，则m=。4、若正比例函数图象过点（1，2），则该正比例函数的解析式是.5、正比例函数图象经过P（－3，2）和（－m，m－1），写出正比例函数解析式，并求出m的值.6.、根据图象写出解析式（角1=角2）练习题：一、填空题1．y=kx（k≠0）是函数，它的图象是经过和两点的一条直线.2．若正比例函数图象过点（1，2），则该正比例函数的解析式是.3．若点A（a,－3）在直线xy3上，则a=.4．若函数y=(a-2)x+b+3是正比例函数，且过点（－1，3），则a=,b=.5．已知正比例函数图象上一点到x轴距离与到y轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是.二、选择题6.函数y=3x的图象一定不经过点………………………………………（）X1Y2XY21（A）（1，3）（B）（－1，－3）（C）（31，1）（D）（31，－1）三、在同一直角坐标平面内画出下列函数图象7、xy2；xy21；xy21；xy2四、解答题8、已知函数y=(a+2)x+(a2-4),当a为何值时，这个函数为正比例函数.9、正比例函数图象经过P（－3，2）和（－m，m－1），写出正比例函数解析式，并求出m的值.10、如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图象回答：⑴谁走得快？⑵求甲、乙两个函数解析式,并写出自变量的取值范围.⑶当t=4时，甲、乙两人行程相差多少？11、已知正比例函数图象经过点（2，－6），⑴求出此函数解析式；⑵若点M（m，2）、N（3，n）在该函数图象上，求m、n的值；⑶点E（－1，4）在这个图象上吗？试说明理由；⑷若－2≤x≤5，则y的取值范围是什么；⑸若点A在这个函数图象上，AB⊥y轴，垂足B的坐标是（0，－12），求△ABO的面积.j乙甲0s（千米）t（小时）32110515作业：一、填空题1．y=2x的图象经过象限，y随x增大而.2．xy31的图象经过象限，y随x增大而.3．若函数y=(2k－4)x，y随x增大而减小，则k的取值范围是.4．直线y=(2－m)x，经过第一、三象限，则m的取值范围是.5．若函数32mmxy，当m=时此函数是正比例函数，且图象在第一、三象限，y随x的减小而.6．已知M1（x1、y1）、M1（x1、y1）是正比例函数y=kx（k≠0）图象上两点，当x1﹤x2时，y1﹥y2，则k的取值范围是，图象经过象限.二、选择题7．函数y=3x、y=－2x、y=4x的共同点是……………………………………（）（A）图象经过相同的象限（B）随着x逐渐增大，y值逐渐减小（C）图象都经过原点（D）随着x逐渐增大，y值逐渐增大8．已知ab﹤0，则函数xaby的图象经过…………………………………（）（A）二、三象限（B）二、四象限（C）一、三象限（D）一、四象限9．正比例函数y=kx（k≠0）的自变量增加1，函数值相应减少3，则k的值为（）（A）3（B）－3（C）31（D）－3110．y=k1x中，y随x的增大而减小，k1k2﹤0，则在同一直角坐标系中，y=k1x和y=k2x的图象大致为……………………………………………………………………（）（A）（B）（C）（D）三、简答题11、正比例函数y=(3k－1)x，y随x的增大而减小，求k的取值范围.xy0y=k1xy=k2xxy0y=k2xy=k1x0xyy=k2xy=k1xxyy=k1xy=k2x012、已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过一、三象限，且经过P（k+2，2k+1），求k的值.13、已知点A坐标为（－6，0），点B(－1,a)在直线y=－3x上，求△AOB的面积.14、如图，在半径为4的半圆内有一内接三角形，其底是半圆的直径，⑴写出三角形的面积y与底边上的高x之间的函数关系式；⑵写出高x的取值范围；⑶画出函数图象.15、已知直线y＝kx过点（－2，3），A是直线y＝kx上一点，点B的坐标为（4，0），且S△AOB=12，求点A的坐标.DCBA