第四讲-图形描绘-曲率

第三章微分中值定理与导数的应用第四讲1第四讲图形描绘曲率授课题目：§3.6函数图形的描绘§3.7曲率教学目的与要求：1.掌握函数作图的方法和步骤，会描绘简单函数的图形2.了解并会计算曲率及曲率半径．教学重点与难点：重点：曲率及曲率半径的定义．难点：曲率及曲率半径的应用．讲授内容：一、函数图形的描绘将前面关于函数性态讨论的结果应用到函数的作图上，可以把函数的图形画得比较准确．利用导数描绘函数图形的一般步骤如下；第一步确定函数)(xfy的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等）；第二步求)(xf和)(xf及0)(xf和0)(xf的根或)(xf和)(xf不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个部分区间；第三步根据)(xf和)(xf符号，确定函数图形的升降和凹凸，极值点和拐点；第四步找水平渐近线bxfx)(lim或bybxfx)(lim铅直渐近线)(limxfax或axxfax)(lim第五步找特殊点（与坐标轴交点、)(xf的间断点、极值点、拐点），有时还需要补充一些点.例1画出函数123xxxy的图形．解(1)定义域为(,)，)1)(13(123)(2xxxxxf，)(xf的零点为31x、1；)13(226)(xxxf．)(xf的零点为31x，第三章微分中值定理与导数的应用第四讲2(2)将点31x，31，1由小到大排列，依次把定义域(,)划分成下列四个部分区间：(31,)，31,31，1,31，,1．(3)列表如下：x（31,）31（31,31）31（1,31）1（,1）)(xf+0———0+)(xf———0+++)(xfy的图形极大拐点极大(4)当x时，y；当x时，y；(5)算出1,31,31x处的函数值：（2732,31），（2716,31），（0,1）.适当补充一些点．如计算出85)23(,1)0(,0)1(fff，就可补充描出点（0,1），点（0，1）和点（85,23）.结合（3）、（4）中得到的结果，画出123xxxy的图形（图4）.例5描绘函数2221xey的图形．解(1)定义域为（,）.(2))(xf是偶函数，只讨论,0上该函数的图形．2716,312732,31xy11O123xxxy185,23图4第三章微分中值定理与导数的应用第四讲3（3）222221)(21)(xxxexexf，令0)(xf0x；)1(21)(21)(2222222xexxeexfxxx.令0)(xf1x．列表：(4)由于0)(limxfx，所以图形有一条水平渐近线0y．(5)算出eff21)1(,21)0(，又221)2(ef，得函数图形上的三点)21,0(1M，)21,1(2eM和)21,2(23eM.画出函数2221xey在[,0]上的图形．最后，利用图形的对称性，便可得到函数在0,上的图形(图5)．二、弧微分作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的撅念．x0（0，1）1（,1）)(xf0———)(xf——0+)(xfy的图形极大拐点2Mxy12O1M3M2221xey图5第三章微分中值定理与导数的应用第四讲4设函数)(xf在区间(ba,)内具有连续导数．在曲线)(xfy上取固定点)(000yxM作为度量弧长的基点(图1)，并规定依x增大的方向作为曲线的正向．对曲线上任一点),(yxM，规定有向弧段MM0的值s(简称为弧)如下：s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段MM0的方向与曲线的正向一致时0s，相反时0s．显然，弧MMs0是x的函数：)(xss，而且)(xs是x的单调增加函数．下面来求)(xs的导数及微分．设xxx,为(ba,)内两个邻近的点．它们在曲线)(xfy上的对应点为MM,(图3—20)，并设对应于x的增量x，弧s的增量为s．那末MMMMMMs00.于是22222)()()()(xMMMMMMxMMxs222222)(1)()()()()(xyMMMMxyxMMMM，22)(1)(xyMMMMxs.令0x取极限，由于0x时，MM，这时弧的长度与弦的长度之比的极xyxO0x0MMxyxxM图1第三章微分中值定理与导数的应用第四讲5限等于1，即1limMMMMMM，又yxyx0lim，因此得21ydxds．由于)(xss是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有dxyds21．这就是弧微分公式．三、曲率及其计算公式我们直觉地认识到；直线不弯曲，半径较小的圆弯曲得比半径较大的圆厉害些，而其他曲线的不同部分有不同的弯曲程度，例如抛物线2xy在顶点附近弯曲得比远离顶点的部分厉害些．在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度．例如，船体结构中的钢梁，机床的转轴等，它们在荷载作用下要产生弯曲变形，在设计时对它们的弯曲必须有一定的限制，这就要定量地研究它们的弯曲程度．为此首先要讨论如何用数量来描述曲线的弯曲程度．在图2中可以看出，弧段21MM比较平直，当动点沿这段弧从1M移动到2M时，切线转过的角度1不大，而弧段32MM，弯曲得比较厉害，角2就比较大．但是，切线转过的角度的大小还不能完全反映曲线弯曲的程度．例如，从图3中可以看出，两段曲线21MM及21NN尽管切线转过的角度都是，然而弯曲程度并不相同，短弧段比长弧段弯曲得厉害些．由此可见，曲线弧的弯曲程度还与弧段的长度有关．按上面的分析，我们引入描述曲线弯曲程度的曲率概念如下．设曲线C是光滑，在曲线C上选定一点0M作为度量弧s的基点．设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为(这里假定曲线C所在的平面上已设立了xoy坐标系)，曲线上另外一点M对应于弧ss，在点M处切线的倾角为(图121M2M3M图2图31M2M1N2Nxys0MMCSM第三章微分中值定理与导数的应用第四讲64)，那未，弧段MM的长度为s，当动点从M移动到M时切线转过的角度为．我们用比值s，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MM的平均弯曲程度，把这比值叫做弧段MM的平均曲率、并记作K，即sK.类似于从平均速度引进瞬时速度的方法，当0s时(即MM时)，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K，即sKs0lim.在dsds0lim存在的条件下，K也可以表示为dsdK.(2)对于直线来说．切线与直线本身重合．当点沿直线移动时，切线的倾角不变(图5)，而0,0s．从而0dsdK，这就是说，直线上任意点M处的曲率都等于零，这与我们直觉认识到的“直线不弯曲”一致．设圆的半径为由图6可见在点M、M处圆的切线所夹的角等于中心角MMD．但rsMMD，于是rsrss1,从而rdsdK1.因为点M是圆上任意取定的——点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径r的倒数r1，这就是说，圆的弯曲程度到处一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害．在一般情况下，我们根据(2)式来导出便于实际计算曲率的公式．xyOMsM图5xyOMM图6TTDa第三章微分中值定理与导数的应用第四讲7设曲线的直角坐标方程是)(xfy，且)(xf具有二阶导数(这时)(xf连续，从而曲线是光滑的)．因为ytan，所以ydxd2sec，221tan1yyydxd，于是dxyyd21.又由(1)知道dxyds21.从而，根据曲率K的表达式(2)，有232)1(yyK．(3)设曲线由参数方程)()(tytx,给出，则可利用由参数方程所确定的函数的求导法,求出xy及xy，代入（3）便得2322)()()()()()(ttttttK（4）例1计算等边双曲线1xy在点(1，1)处的曲率．解由xy1得322,1xyxy.因此，2,111xxyy．把它们代人公式(3)，便得曲线1xy在点(1，1)处的曲率为22)1(12232K.例2抛物线cbxaxy2上哪一点处的曲率最大?解由cbxaxy2，得aybaxy2,2，代人公式(3)，得232)2(12baxaK.第三章微分中值定理与导数的应用第四讲8因为K的分子是常数a2，所以只要分母最小，K就最大．容易看出，当02bax，即abx2时，K的分母最小，因而K有最大值a2．而abx2所对应的点为抛物线的顶点．因此，抛物线在原点处的曲率最大．在有些实际问题中，y同1比较起来是很小的（有的工程书上把这种关系记成y1，可以忽略不计．这时，由112y，而有曲率的近似计算公式yyyK232)1(.这就是说，当1y时，曲率K近似于y.经过这样简化后，对一些复杂问题的计算和讨论就方便多了．四、曲率圆与曲率半径设曲线)(xfy在点M(yx,)处的曲率为K(0K).在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取—点D，使KDM1.以D为圆心为半径作圆(图7)，这个圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径做曲线在点M处的曲率半径．按上述规定可知，曲率圆与曲线在点M有相同的切线和曲率，且在点M邻近有相同的凹向．因此，在实际问题中，常常用曲率圆在点M邻近的—段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化．按上述规定，曲线在点M处的曲率)0(KK与曲线在点M处的曲率半径有如下关系：xyOM图7D)(xfyK1第三章微分中值定理与导数的应用第四讲91,1KK.这就是说；曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为例数．例3没工件内表面的截线为抛物线24.0xy(图8)．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？解为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于曲线上各点处曲率半径中的最小值．由本节例2知道，抛物线在其顶点处的曲率最大，也就是说，抛物线在其顶点处的曲率半径最小．因此，只要求出抛物线24.0xy在顶点O(0，0)处的曲率半径．由8.0,8.0yxy，而有8.0,000xxyy．把它们代人公式(3)，得K=0.8因而求得抛物线顶点处的曲率半径25.11K所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长．即直径不超过2.50单位长．对于用砂轮密削一般工件的内表面时，也有类似的结论，即选用的砂轮的半径不应超过这工件内表面的截线上各点处曲率半径中的最小值．课外作业：P166-1,P175-2,5O25.1xy24.0xy图8