概率统计在实际生活中的应用

本科毕业论文（2011届）题目概率统计在实际生活中的应用学院数学与信息工程学院专业班级学号学生姓名指导教师完成日期I摘要本文介绍了概率统计的某些知识在实际问题中的应用,主要围绕古典概型,全概率公式,正态分布,数学期望,极限定理等有关知识,探讨概率统计知识在实际生活中的广泛应用,进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系,为应用概率知识解决实际问题,数学模型的建立,学科知识的迁移奠定一定的理论基础。通过本文可以更好地感受到数学知识与实际生活的联系，体会到数学知识给我们实际生活中带来的种种好处。关键词概率统计;古典概型;正态分布;数学期望;中心极限定理IIAbstractThispaperintroducedtheapplianceofprobabilityandstatisticsinreality,includingclassicalmodel,formulaoftotalprobability,normaldistribute,mathematicsexpectationandthecentrallimittheorem.Whileitalsodiscussesthewidelyusesofprobabilityandstatisticsandthecloserelationshipwiththereallife.Therefore,itlaysthetheoreticalfoundationforthepracticaluseswithprobabilityandstatistics,andthebasisofmathematicsmodel.Throughthispaper,wecanfeelthelinkbetweenmathematicsknowledgeandpracticallife,realizethebenefitsthatmathematicsknowledgebringstoourlife.Keywordsprobabilityandstatistics;classicalmodel;normaldistribute;mathematicsexpectationcentrallimittheoremIII目录1．引言.................................................................................................................................12．概率统计在实际生活中的应用.....................................................................................12.1古典概型在实际问题中的应用.............................................................................12.2全概率公式在实际问题中的应用.........................................................................22.3正态分布在实际问题中的应用.............................................................................42.4数学期望在求解最大利润问题中的应用.............................................................52.5中心极限定理在实际问题中的应用.....................................................................63．小结.................................................................................................................................8参考文献.............................................................................................................................10谢辞.....................................................................................................................................111概率统计在实际生活中的应用TheApplicationofProbabilityandStatisticsinReality数学与信息工程学院数学与应用数学专业1.引言随着人类社会的进步,科学技术的发展,经济全球化的日益进程,数学在生活中的应用越来越广,生活中的数学无处不在.而数学中的一个非常重要的分支——概率论,在众多领域内扮演着越来越重要的角色,取得越来越广泛的应用。正如英国逻辑学家和经济学家杰文斯所说：概率论是“生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,我们就寸步难行,无所作为”。概率论是一门相当有趣的数学分支学科，随着科学技术的发展与计算机的普及，它已广泛地应用于各行各业，成为研究自然科学，社会现象，处理工程和公共事业的有力工具。在日常生活中，概率论的应用更是普遍，几乎无处不在，如年度预算，竞选活动，预测销售量，解释自然规律，玩扑克牌等。概率论应应用的基本方法是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出客观的科学定义，对可能性的大小作出数量上的描述，通过比较这些可能性的大小，研究随机现象之间的联系。下面从几个方面具体阐述。2.概率统计在实际生活中的应用2.1古典概型在实际问题中的应用古典概率通常又叫事前概率，是指随机事件中各种可能发生的结果及其出现的次数，都可以由演绎或外推法得知，而无需经过任何统计试验即可计算各种发生结果的概率。古典概率是概率里最早的一种最简单的概率模型,也是应用最广泛的概率。许多实际问题,都可以将其转化为古典概率加以解决。例1在第49届世界乒乓球锦标赛中,我国运动员王励勤和马琳会师男单决赛,根据实际排名2和以往的战绩统计,每赛一局马琳胜的概率为0.45,王励勤胜的概率为0.55。若比赛既可采用三局两胜制,也可以采用五局三胜制,问采用那种赛制对马琳更有利？[1]具体做法如下：（1）采用三局两胜制：设1A表示马琳胜前两局,2A表示前两局中二人各胜一局,第三局马琳胜,A表示马琳胜,则12AAA,而210.450.2025PA，220.450.5520.22275PA，由于1A与2A互斥，由加法公式得120.20250.222750.42525PAPAA。（2）采用五局三胜制：设B表示马琳胜,B1表示前三局马琳胜,B2表示前三局中马琳胜两局,王励勤胜一局,第四局马琳胜,B3表示前四局两人各胜两局,第五局马琳胜，则123BBBB，而310.450.091125PB，22230.450.550.450.150356PBC，222340.450.550.450.165392PBC，所以123123PBPBBBPBPBPB0.0911250.1503560.1653920.4096。由于PBPA,故采用三局两胜制对马琳有利，但从公平性而言，因王励勤胜的概率为0.55，所以五局三胜制更公平，更合理。在实际比赛中，采用的是七局四胜制，更为公平合理，结果是王励勤赢了，如果采用三局两胜制，马琳战胜王励勤的可能性就大多了。类似的利用古典概率求解的问题还有很多，比如博彩，产品抽样调查等。在利用古典概率求解实际问题时，并不都是这么容易的，许多古典概率的计算相当困难，并且具有一定的技巧性，计算要点是给定样本，并计算它的总数，再计算有利场合的数目。2.2全概率公式在实际问题中的应用全概率公式是概率论中一个重要的公式,在实际中同样有广泛的应用。先引进定义：设12,,nBBB为样本空间的一个划分,即12,,nBBB互不相容（,,ijBBiji，3j=1,2,,n），且1niiB，如果0iPB,1,2,,in，则对任意事件A有1|niiiPAPBPAB。在2010赛季NBA季后赛中，湖人队，太阳队，魔术队，凯尔特人队四队取得半决赛权，形式如下图1夺冠分析现根据以往战绩，假定湖人队战胜魔术队，凯尔特人队的概率分别是0.9与0.4，而魔术队战胜凯尔特人队的概率为0.5，试问湖人队取得冠军的可能性有多大？[2]根据上述形式，未完成的凯尔特人队与魔术队的半决赛对湖人队影响很大，若魔术队胜利，则湖人队有90%的希望夺冠;若凯尔特人队胜利，则湖人队夺冠的希望只有40%。在魔术队与凯尔特人队未比赛前，他们谁能取得决赛权的两种情况必须考虑到。记“湖人队夺冠”为事件B，魔术队战胜凯尔特人队为事件1A，有10.550%PA,凯尔特人队战胜魔术队为事件2A，250%PA.显然有，要么魔术队胜，要么凯尔特人队胜，二者必居其一。所以以12,AA为一个划分，由全概率公式得：1122//PBPAPBAPAPBA,其中12/,/PBAPBA是两个条件概率。1/PBA表示在魔术队取得胜利时湖人队取得冠军概率；由题可知1/PBA=90%，2/PBA表示在凯尔特人队取得胜利时湖人队取得冠军概率；由题可知2/PBA=40%，总冠军西部冠军东部冠军军？湖人太阳魔术凯尔特人4综上所述，在魔术队与凯尔特人队未进行决赛前估计湖人队取得冠军概率为1122//PBPAPBAPAPBA=50%90%+50%40%=65%。类似的利用全概率公式求解的例子有很多，比如工厂有多条流水线，求故障发生概率，就是利用全概率公式求解，或者已知故障发生概率，追究不同流水线应承担的责任，利用的则是全概率公式的反向（贝叶斯公式）。在利用全概率公式求解实际问题中，关键是对问题的合理划分，考虑所有可能导致问题发生的情况。2.3.正态分布在实际问题中的应用正态分布也称“高斯分布”,是概率论中最重要的一个分布。正态分布是具有两个参数和2的连续型随机变量的分布，第一参数是服从正态分布的随机变量的均值，第二参数2是此随机变量的方差，所以正态分布记作(,2)N。服从正态分布的随机变量的概率规律为取与邻近的值的概率大，而取离越远的值的概率越小;越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是:关于对称，在处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在处有拐点。它的形状是中间高两边低，图形是一条位于X轴上方的钟形曲线。当0，21时，称为标准正态分布，记为(0,1)N。正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质,许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。许多实际存在的问题,我们都可以将其转化为正态分布加以解决。以下通过一些具体例子加以阐述。某汽车制造厂设计一种新型公共汽车,其车