解析几何范围最值问题(教师)详解

1第十一讲解析几何范围最值问题解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.一、几何法求最值【例1】抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足＋＝(－4，－12)．(1)求直线l和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时，求△ABP面积的最大值．[满分解答](1)根据题意可设直线l的方程为y＝kx－2，抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由y＝kx－2，x2＝－2py，得x2＋2pkx－4p＝0设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2pk，y1＋y2＝k(x1＋x2)－4＝－2pk2－4.所以＋＝(－4，－12)，所以－2pk＝－4，－2pk2－4＝－12，解得p＝1，k＝2.故直线l的方程为y＝2x－2，抛物线方程为x2＝－2y.(2)设P(x0，y0)，依题意，知当抛物线过点P的切线与l平行时，△ABP的面积最大．对y＝－12x2求导，得y′＝－x，所以－x0＝2，即x0＝－2，y0＝－12x20＝－2，即P(－2，－2)．此时点P到直线l的距离d＝|2·－2－－2－2|22＋－12＝45＝455.由y＝2x－2，x2＝－2y，得x2＋4x－4＝0，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－4，|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋22·－42－4·－4＝410.于是，△ABP面积的最大值为12×410×455＝82.二、函数法求最值【示例】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝23，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．(1)由e＝ca＝a2－b2a2＝23，得a＝3b，椭圆C：x23b2＋y2b2＝1，即x2＋3y2＝3b2，2设P(x，y)为C上任意一点，则|PQ|＝x2＋y－22＝－2y＋12＋3b2＋6，－b≤y≤b.若b＜1，则－b＞－1，当y＝－b时，|PQ|max＝－2－b＋12＋3b2＋6＝3，又b＞0，得b＝1(舍去)，若b≥1，则－b≤－1，当y＝－1时，|PQ|max＝－2－1＋12＋3b2＋6＝3，得b＝1.∴椭圆C的方程为x23＋y2＝1.(2)法一假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有m23＋n2＝1，即n2＝1－m23，－3≤m≤3.由题意可得S△AOB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝12sin∠AOB≤12，当∠AOB＝90°时取等号，这时△AOB为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mx＋ny＝1的距离为22，则1m2＋n2＝22，得m2＋n2＝2，又m23＋n2＝1，解得m2＝32，n2＝12，即存点M的坐标为62，22，62，－22，－62，22，－62，－22满足题意，且△AOB的最大面积为12.(12分)法二假设存在这样的点M(m，n)满足题意，则有m23＋n2＝1，即n2＝1－m23，－3≤m≤3，又设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由mx＋ny＝1x2＋y2＝1，消去y得(m2＋n2)x2－2mx＋1－n2＝0，①把n2＝1－m23代入①整理得(3＋2m2)x2－6mx＋m2＝0，则Δ＝8m2(3－m2)≥0，∴x1＋x2＝6m3＋2m2，x1x2＝m23＋2m2，②而S△AOB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝12sin∠AOB，当∠AOB＝90°，S△AOB取得最大值12，此时·＝x1x2＋y1y2＝0，又y1y2＝1－mx1n·1－mx2n＝3－3mx1＋x2＋3m2x1x23－m2，∴x1x2＋3－3mx1＋x2＋3m2x1x23－m2＝0，即3－3m(x1＋x2)＋(3＋2m2)·x1x2＝0，把②代入上式整理得2m4－9m2＋9＝0，解得m2＝32或m2＝3(舍去)，∴m＝±62，n＝±1－m23＝±22，∴M点的坐标为62，22，62，－22，－62，22，－62，－22，使得S△AOB取得最大值12.老师叮咛：当所求的最值可以表示成某个变量的函数关系式时，我们常常先建立对应的函数关系式，然后利用函数方法求出对应的最值，称这种方法为函数法，这是解析几何问题中求最值的常用方法．函数法是研究数学问题3的一种最重要的方法，用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时，除了重视建立函数关系式这个关键点外，还要密切注意所建立的函数式中的变量是否有限制范围，这些限制范围恰好制约了最值的取得，因此在解题时要予以高度关注．三.定义法求最值在求解有关圆锥曲线的最值问题时,通常是利用函数的观点,建立函数表达式进行求解。但是,一味的强调函数观点,有时会使思维陷入僵局。这时,若能考虑用圆锥曲线的定义来求解,问题就显得特别的简单。例1、如图，M是以A、B为焦点的双曲线222xy右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是（）A、262,B、2622,C、2622,2622D、262,分析：此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。解法如下：连结MA，由双曲线的第一定义可得：2MBMCMAaMC22222622MAMCAC当且仅当A、M、C三点共线时取得最小值。如果此题就到此为止，未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究：（1）如果M点在左支上，则点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆22143xy上任一点，若点M到点1,12C与点B的距离之差为S，则S的最大值是多少？（3）如果M是以A、B为焦点的椭圆22143xy上任一点，若点M到点1,12C与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？4分析：连结MA，由椭圆的第一定义可得：22MBMCaMAMCaMAMC，当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值，如上图所示。对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了。练习1、如图，椭圆C的方程为22221(0)yxabab，A是椭圆C的短轴左顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P（1，0）,且BP∥y轴，△APB的面积为92.（1）求椭圆C的方程；（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程.分析：同样,此题若采用函数观点,问题（2）将变得复杂化！若能利用双曲线的第一定义，则解答就容解易得多了。简解：（1）,2921PBAPSAPB又∠PAB＝45°，AP＝PB，故AP＝BP＝3.∵P（1,0），A（－2,0），B（1,－3）∴b=2，将B（1，－3）代入椭圆得：222191bba得212a，所求椭圆方程为221124yx（2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则易知F1（0,－22）F2（0，22），直线AB的方程为：20xy，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实轴最大，只须｜｜MF1｜－｜MF2｜｜最大，设F1（0，－22）关于直线AB的对称点为1'F（22－2，－2），则直线'12FF与直线的交点为所求M，因为'12FF的方程为：(322)220yx,联立(322)22020yxxy得M（1,3）ABPxyO5又'2a=｜｜MF1｜-｜MF2｜｜=｜｜M1'F｜－｜MF2｜｜21|'|FF＝22(2220)(222)＝26，故2,6''maxba，故所求双曲线方程为：22162yx2、已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线xy162的焦点P为其一个焦点，以双曲线191622yx的焦点Q为顶点。(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点)0,1(),0,1(BA，且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M是线段CD上的动点，求BMAM的取值范围。解：(1)抛物线xy162的焦点P为(4，0)，双曲线191622yx的焦点Q为(5，0)∴可设椭圆的标准方程为12222byax，由已知有ab0，且a=5，c=4916252b，∴椭圆的标准方程为192522yx(2)设),(00yxM，线段CD方程为135yx，即353xy)50(x点M是线段CD上，35300xy)50(0x),1(00yxAM，),1(00yxBM，12020yxBMAM，将35300xy)50(0x代入得BMAM1)353(2020xxBMAM85182534020xx34191)3445(253420x500x，BMAM的最大值为24，BMAM的最小值为34191。BMAM的取值范围是]24,34191[。3、一动圆与圆1)1(:221yxO外切，与圆9)1(:222yxO内切．(I)求动圆圆心M的轨迹L的方程．(Ⅱ)设过圆心O1的直线1:myxl与轨迹L相交于A、B两点，请问2ABO（O2为圆O2的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R．由题意，得RMORMO3||,1||21，4||||21MOMO由椭圆定义知M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，6314222cab．∴动圆圆心M的轨迹L的方程为13422yx(2)如图，设2ABO内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形2ABO的面积rBOAOABSABO|)||||(|21222rBOBOAOAO|)]||(||)||[(|212121rar42当2ABOS最大时，r也最大，2ABO内切圆的面积也最大，设),(11yxA、)0,0)(,(2122yyyxB，则21221121||||21||||212yyyOOyOOSABO，（8分）由134122yxmyx，得096)43(22myym，解得43163221mmmy，43163222mmmy，43112222mmSABO，令12mt，则t≥1，且m2=t2-1，有4)1(31222ttSABOtttt131213122，令tttf13)(，则213)('ttf，当t≥1时，0)('tf，f(t)在[1，+∞）上单调递增，有4)1()(ftf，34122ABOS，即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得43maxr，这时所求内切圆的面积为169，∴存在直线2,1:ABOxl的内切圆M的面积最大值为169.