贝叶斯决策分析

风险决策中的贝叶斯决策摘要:风险决策存在于诸多的生产和经济活动中。合理的风险决策是尽量对决策中的信息加以有效利用，以控制决策风险。贝叶斯公式能够有效地综合模型信息、数据信息和先验信息等三种信息。文章结合相关实例，讨论了风险决策的贝叶斯方法，给出了如何运用贝叶斯公式对有关信息有效利用，以获得最优决策方案的途径。关键词:风险决策、贝叶斯决策；所谓决策,就是决策者为了解决当前或未来可能遇到的各种问题，在若干可供选择的行动方案中，选择一个在某种意义下的最佳方案的过程。决策的正确与否会给企业带来收益或损失。因此，决策者应学会合理的决策分析，避免产生重大损失。由于决策环境中存在大量不确定因素和统计信息的不充分，决策必然带有某种程度的风险。可利用的信息是减少风险的有力手段。一般而言，信息越充分，决策环境的不确定性越小，风险也越小贝叶斯决策理论是主观贝叶斯派归纳理论的重要组成部分。贝叶斯决策就是在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计，然后用贝叶斯公式对发生概率进行修正，最后再利用期望值和修正概率做出最优决策。贝叶斯决策理论方法是统计模式识别中的一个基本方法。贝叶斯决策判据既考虑了各类参考总体出现的概率大小，又考虑了因误判造成的损失大小，判别能力强。贝叶斯方法更适用于下列场合：(1)样本(子样)的数量(容量)不充分大，因而大子样统计理论不适宜的场合。(2)试验具有继承性，反映在统计学上就是要具有在试验之前已有先验信息的场合。用这种方法进行分类时要求两点：第一，要决策分类的参考总体的类别数是一定的。例如两类参考总体(正常状态Dl和异常状态D2)，或L类参考总体D1，D2，…，DL(如良好、满意、可以、不满意、不允许、……)。第二，各类参考总体的概率分布是已知的，即每一类参考总体出现的先验概率P(Di)以及各类概率密度函数P(x/Di)是已知的。显然，0≤P(Di)≤1，(i=l，2，…，L)，∑P(Di)=1。从信息价值的经济效用的角度，讨论贝叶斯公式在风险决策中的应用。首先根据期望值原则，以先验概率为基础，找到最优方案及其期望损益值和风险系数，然后用决策信息修正先验分布，得到状态变量的后验分布，并用后验分布概率计算各方案的期望损益值找出最满意方案,并计算其风险系数（这里计算的风险系数应比仅有先验条件下计算的风险系数要小)，最后求出掌握了全部决策信息值的期望损益值。用全部决策信息值的期望损益值减去没有考虑决策信息时的期望收益，就得到了决策信息的价值。实例某工程项目按合同应在三个月内完工，其施工费用与工程完工期有关。假定天气是影响能否按期完工的决定因素，如果天气好，工程能按时完工，获利5万元；如果天气不好，不能按时完工，施工单位将被罚款1万元；若不施工就要付出窝工费2千元。根据过去的经验，在计划实施工期天气好的可能性为30%。为了更好地掌握天气情况，可以申请气象中心进行天气预报，并提供同一时期天气预报资料，但需要支付资料费800元。从提供的资料中可知，气象中心对好天气预报准确性为80%，对坏天气预报准确性为90%。问如何进行决策。解：采用贝叶斯决策方法。(1)先验分析根据已有资料做出决策损益表。d1施工d2不施工好天气θ1（0.3）5-0.2坏天气θ2（0.7）-1-0.2E（dj）0.8-0.2根据期望值准则选择施工方案有利，相应最大期望收益值EMV*（先）=0.8（2）预验分析完全信息的最大期望收益值：EPPI=0.3×5+0.7×（-0.2）=1.36（万元）完全信息价值：EVPI=EPPI-EMV*（先）=1.36-0.8=0.56（万元）即，完全信息价值大于信息成本，请气象中心进行预报是合算的。（3）后验分析①补充信息：气象中心将提供预报此时期内两种天气状态x1(好天气)、x2(坏天气)将会出现哪一种状态。从气象中心提供的同期天气资料可得知条件概率：天气好且预报天气也好的概率P（x1/θ1）=0.8天气好而预报天气不好的概率P（x2/θ1）=0.2天气坏而预报天气好的概率P（x1/θ2）=0.1天气坏且预报天气也坏的概率P（x2/θ2）=0.9②计算后验概率分布：根据全概率公式和贝叶斯公式，计算后验概率。预报天气好的概率P（x1）=P（θ1）·P（x1/θ1）+P（θ2）·P（x1/θ2）=0.31预报天气坏的概率P（x2）=P（θ1）·P（x2/θ1）+P（θ2）·P（x2/θ2）=0.69预报天气好且天气实际也好的概率：P（θ1/x1）=P（θ1）·P（x1/θ1）P（x1）=0.3×0.8/0.31=0.77预报天气好而天气坏的概率：P（θ2/x1）=P（θ2）·P（x1/θ2）P（x1）=0.7×0.1/0.31=0.23预报天气坏而实际天气好的概率:P（θ1/x2）=P（θ1）·P（x2/θ1）P（x2）=0.3×0.2/0.69=0.09预报天气坏且实际天气也坏的概率：P（θ2/x1）=P（θ2）·P（x2/θ2）P（x2）=0.7×0.9/0.69=0.91上述计算可以用表格表示：先验概率条件概率P（xi∩θj）后验概率P（θj）X1X2X1X2X1X2θ10.30.80.20.240.060.770.09θ20.70.10.90.070.630.230.91P（x1）=0.31P（x1）=0.69③后验决策：若气象中心预报天气好（x1）,则每个方案的最大期望收益值E(d1/x1)=0.77×5+0.23×(-1)=3.62E(d2/x1)=0.77×(-0.2)+0.23×(-0.2)=-0.2选择d1即施工的方案，相应在预报x1时的最大期望收益值E（X1）=3.62若气象中心预报天气不好（x2），各方案的最大期望收益值E(d1/x2)=0.09×5+0.91×(-1)=-0.46E(d2/x2)=0.09×(-0.2)+0.91×(-0.2)=-0.2选择d2即不施工的方案，相应在预报x2时的最大期望收益值E（X2）=-0.2④计算补充信息的价值：得到天气预报的情况下，后验决策的最大期望收益值：EMV*(后)=P（x1）·E(x1)+P（x2）·E(x2)=0.31×3.62+0.69×（-0.2）=0.9842则补充的信息价值为：EMV*(后)-EMV*(先)=0.9842-0.8=0.1842补充信息价值大于信息费（800元），即这种费用是合算的。对贝叶斯决策分析的评价贝叶斯决策分析是以贝叶斯理论为基础的，由贝叶斯定理可以得出通过抽样增加信息量可以减少决策风险的结论，这一结论保证了贝叶斯决策的科学性。除此以外，贝叶斯决策通过对完全信息价值、抽样信息价值及抽样信息价值减去抽样成本等指标的考察，又从经济的角度保障了该方法的可行性。但是，仍存在一定的不足：（1）在进行贝叶斯分析时，判断是否进行实际抽样是以其具有的经济价值为唯一标准。但是，抽样了之后不知道是否会改变决策的结果。抽样需要一定的时间，时间可能会改变一个方案的优劣程度，另外，抽样要花费的人力、物力、财力等，人力物力这些都是无法量化的和比较的，所以会影响到决策的结果。（2）在贝叶斯最小风险决策中虽然考虑了损失而使风险达到最小，但是没有考虑是否达到了期望收益和期望效用的大小。虽然该方法依据贝叶斯理论，通过抽样和其它技术使概率分布状况的准确性得以提高，因此减少了决策风险，但是风险始终没有消除。而我们知道高收益经常是与高风险相伴随的，单独考虑任何一个都不是完全的，最终都可能出现与投资者初衷不一致的结果。为了使贝叶斯决策方法更完善，应该对其决策方法进行改进。对于原先只用期望受益和期望效用或只以最小风险为判断准则的方法加以改进，形成以两者结合为标准的决策准则。每个指标赋予一定的权重，依据个人的偏好程度得出决策的结果。结论在风险决策中，有很多如何确定信息的价值以及如何提高风险决策可靠性的方法。根据不同的风险情况，要采取不同的风险决策分析的方法。贝叶斯决策分析就是其中的一种。本文对贝叶斯决策分析的思想及步骤、应用领域、概率分布设定的偏差及改进、使用贝叶斯分析时应改进和注意的地方进行了相关文献的综述。风险统计与决策分析论文院系名称：理学院专业班级：信计F1001班学生姓名：蔡书宁学号：201046800115