2018届高三一轮复习讲义第4章第4节形如y=Asin(wx+)函数图像及其应用

第1页共17页1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈R振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的步骤如下：【知识拓展】1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．第2页共17页2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．(√)(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(×)(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(×)(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝2πω.(×)(5)把y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.(×)(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√)1．(教材改编)y＝2sin(12x－π3)的振幅，频率和初相分别为()A．2,4π，π3B．2，14π，π3C．2，14π，－π3D．2,4π，－π3答案C解析由题意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝14π，初相为－π3.2．(2015·山东)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位答案B第3页共17页解析∵y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，∴要得到y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位．3．(2016·青岛模拟)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()A．y＝sin(2x－π10)B．y＝sin(2x－π5)C．y＝sin(12x－π10)D．y＝sin(12x－π20)答案C解析y＝sinxπ10右移个单位y＝sin(x－π10)―――――→横坐标伸长到原来的2倍y＝sin(12x－π10)．4．(2016·临沂模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(－π6)＝________.答案－23解析由题图知，函数f(x)的周期T＝2(11π12－7π12)＝2π3，所以f(－π6)＝f(－π6＋2π3)＝f(π2)＝－23.5．若将函数f(x)＝sin(2x＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．答案3π8解析∵函数f(x)＝sin(2x＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋π4]＝sin(2x＋π4－2φ)，又∵g(x)是偶函数，∴π4－2φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝－kπ2－π8(k∈Z)．第4页共17页当k＝－1时，φ取得最小正值3π8.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为5π12，0，求θ的最小值．解(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx＋φ0π2π3π22πxπ12π37π125π61312πAsin(ωx＋φ)050－50且函数解析式为f(x)＝5sin2x－π6.(2)由(1)知f(x)＝5sin2x－π6，得g(x)＝5sin2x＋2θ－π6.因为函数y＝sinx图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋2θ－π6＝kπ，解得x＝kπ2＋π12－θ，k∈Z.由于函数y＝g(x)的图象关于点5π12，0成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝kπ2－π3，k∈Z.第5页共17页由θ0可知，当k＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心．解由(1)知f(x)＝5sin(2x－π6)，因此g(x)＝5sin[2(x＋π6)－π6]＝5sin(2x＋π6)．因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ2－π12，k∈Z.即y＝g(x)图象的对称中心为(kπ2－π12，0)，k∈Z.思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是()A．y＝cos2xB．y＝－sin2xC．y＝sin(2x－π4)D．y＝sin(2x＋π4)答案A解析由y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin2x，再向左平移π4个单位得y＝sin2(x＋π4)，即y＝cos2x.题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，|φ|π2，ω0)的图象的一部分如图所示．第6页共17页(1)求f(x)的表达式；(2)试写出f(x)的对称轴方程．解(1)观察图象可知A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝12.∵|φ|π2，∴φ＝π6，又∵1112π是函数的一个零点且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)设2x＋π6＝B，则函数y＝2sinB的对称轴方程为B＝π2＋kπ，k∈Z，即2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，∴f(x)＝2sin(2x＋π6)的对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．思维升华求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，B＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋π6)取得最小值时x的集合为()第7页共17页A．{x|x＝kπ－π6，k∈Z}B．{x|x＝kπ－π3，k∈Z}C．{x|x＝2kπ－π6，k∈Z}D．{x|x＝2kπ－π3，k∈Z}答案B解析根据所给图象，周期T＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|π2，得φ＝－π6，∴f(x＋π6)＝sin(2x＋π6)，当2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋π6)取得最小值．题型三三角函数图象性质的应用命题点1三角函数模型的应用例3(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10答案C解析由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．答案(－2，－1)解析方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为第8页共17页m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos2x＋3sin2x＝2sin2x＋π6，x∈π2，π.设2x＋π6＝t，则t∈76π，136π，∴题目条件可转化为m2＝sint，t∈76π，136π有两个不同的实数根．∴y＝m2和y＝sint，t∈76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的范围为(－1，－12)，故m的取值范围是(－2，－1)．引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．答案[－2,1)解析由例4知，m2的范围是－1，12，∴－2≤m1，∴m的取值范围是[－2,1)．命题点3图象与性质的综合应用例5已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω0，－π2≤φπ2)的图象关于直线x＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x∈[0，π2]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝π3对称，所以2·π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，由－π2≤φπ2，得k＝0，第9页共17页所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f(x)＝3sin(2x－π6)，当x∈[0，π2]时，－π6≤2x－π6≤5π6，∴当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)最大值＝3；当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)最小值＝－32.思维升华(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．已知函数f(x)＝cos(3x＋π3)，其中x∈[π6，m]，若f(x)的值域是[－1，－32]，则m的取值范围是__________．答案[2π9，5π18]解析画出函数的图象．由x∈[π6，m]，可知5π6≤3x＋π3≤3m＋π3，因为f(π6)＝cos5π6＝－32且f(2π9)＝cosπ＝－1，要使f(x)的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m≤5π18，即m∈[2π9，5π18