第五节--两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式

第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识批注——理解深一点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S(α±β)：sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.C(α±β)：cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.T(α±β)：tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβα，β，α±β≠π2＋kπ，k∈Z.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.T2α：tan2α＝2tanα1－tan2αα≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z.二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论汇总——规律多一点(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(2)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.(3)公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(二)选一选1．(2018·全国卷Ⅲ)若sinα＝13，则cos2α＝()A.89B.79C．－79D．－89解析：选B∵sinα＝13，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×132＝79.2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：选D原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12.3．设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－π4＝()A.15B．－15C．5D．－5解析：选A由于角θ的终边过点(2,3)，因此tanθ＝32，故tanθ－π4＝tanθ－11＋tanθ＝32－11＋32＝15.(三)填一填4．已知cosα＝1213，α∈0，π2，则cosα－π4＝________.解析：∵cosα＝1213，α∈0，π2，∴sinα＝1－cos2α＝513，∴cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝1213×22＋513×22＝17226.答案：172265．sin15°＋sin75°＝________.解析：依题意得sin15°＋sin75°＝cos75°＋sin75°＝2cos(75°－45°)＝62.答案：62考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sinα＝35，α∈π2，π，tanβ＝－12，则tan(α－β)的值为()A．－211B.211C.112D．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为()A．－229B．－429C.229D.429[解析](1)因为sinα＝35，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sinα＝13，π2≤α≤π，所以cosα＝－1－sin2α＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×13×－223＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sinα＝13＋cosα，且α∈0，π2，则cos2αsinα＋π4的值为()A．－23B.23C．－13D.13解析：选A因为sinα＝13＋cosα，所以sinα－cosα＝13，所以cos2αsinα＋π4＝cos2α－sin2αsinαcosπ4＋cosαsinπ4＝cosα－sinαcosα＋sinα22sinα＋cosα＝－1322＝－23.2．已知sinα＝45，且α∈π2，3π2，则sin2α＋π3的值为________．解析：因为sinα＝45，且α∈π2，3π2，所以α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－1－452＝－35.因为sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝－725.所以sin2α＋π3＝sin2αcosπ3＋cos2αsinπ3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°＝________.[解析](1)∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan25°tan35°)＋3tan25°·tan35°＝3(1－tan25°tan35°)＋3tan25°tan35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；1±sinα＝sinα2±cosα22；sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1；cos2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．公式顺用和逆用，变形运用加巧用；幂升一次角减半，升幂降次它为范；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦．[题组训练]1.口诀第1句设a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°，b＝22(sin56°－cos56°)，c＝1－tan239°1＋tan239°，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．bacC．cabD．acb解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos50°cos127°＋cos40°cos37°＝cos50°cos127°＋sin50°sin127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos77°＝sin13°，b＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝1－tan239°1＋tan239°＝1－sin239°cos239°1＋sin239°cos239°＝cos239°－sin239°＝cos78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈0，π2为增函数，所以sin13°sin12°sin11°，所以acb.2.口诀第1句已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋π6＝________.解析：由cosα－π6＋sinα＝435，可得32cosα＋12sinα＋sinα＝435，即32sinα＋32cosα＝435，∴3sinα＋π6＝435，即sinα＋π6＝45.答案：453.口诀第2、3句化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是________．解析：原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12cos2α－π3＋cos2α＋π3－sin2α＝1－cos2α·cosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cosβ的值为________．[解析]由角α的终边过点P－35，－45，得sinα＝－45，cosα＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，所以cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈π2，π.所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tanθ＋1tanθ＝4，则cos2θ＋π4＝()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tanθ＋1tanθ＝4，得sinθcosθ＋cosθsinθ＝4，即sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝4，∴sinθcosθ＝14，∴cos2θ＋π4＝1＋cos2θ＋π22＝1－sin2θ2＝1－2sinθcosθ2＝1－2×142＝14.2．(2018