2017-2018学年上海市浦东新区高二(下)期中数学试卷

第1页（共15页）2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为．4．（3分）若复数z=，则|z|=5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为6．（3分）已知复数z1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分第2页（共15页）13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．814．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定16．（3分）若双曲线x2﹣=1（b＞1）的两条渐近线的夹角为θ，则θ不可能为（）A．arccosB．2arctanC．π﹣2arctanbD．2arctanb三、解答题（共5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤17．（8分）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i=1﹣i（i为虚数单位）．18．（8分）已知双曲线经过点P（1，1），其渐近线方程为y=±x，求此双曲线的方程．19．（10分）求以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（﹣2，4）的抛物线的方程．20．（12分）已知椭圆的焦点分别为F1（﹣2，0）、F2（2，0），长轴长为6，设直线x﹣y+2=0交椭圆于A，B两点，求线段AB的中点坐标．21．（14分）若方程=1所表示的曲线为C．（1）试讨论实数t的取值范围，使曲线C分别为：①圆，②双曲线；（2）若点P（m，1）（m＞0）不在曲线C上，求实数m的取值范围．第3页（共15页）2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）只要求直接填写结果，没空回填对的3分，否则一律得零分1．（3分）复数1+2i的虚部为2．【分析】复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．【解答】解：复数a+bi（a，b∈R）的实部为a，虚部为b．∴复数1+2i的虚部为2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数虚部的概念．虽然概念简单，但实际训练中，往往望文生义，错误的答为bi．2．（3分）关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），则实数k等于13【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【解答】解：关于x的方程x2+4x+k=0有一个根a+3i（a∈R，i为虚数单位），k∈R．则a﹣3i也是此方程的一个根．∴a+3i+a﹣3i=﹣4，（a+3i）（a﹣3i）=k，解得a=﹣2．k=4+9=13．故答案为：13．【点评】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为60°．【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【解答】解：设直线x﹣y+1=0的倾斜角为θ．第4页（共15页）由直线x﹣y+1=0化为y=x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ=60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了斜截式、斜率与倾斜角的关系，属于基础题．4．（3分）若复数z=，则|z|=【分析】复数代数形式的乘除运算法则求出z=﹣1﹣i，由此能求出|z|．【解答】解：∵复数z=======﹣1﹣i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=与直线y=m有且只有一个公共点，则实数m的值为2【分析】由曲线方程可知：曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧），从而根据曲线y=与直线x=m有且只有一个公共点，可求实数m的值．【解答】解：由题意，曲线y=为以原点O（0，0）为圆心，2为半径的半圆（x轴上侧）第5页（共15页）与直线L：y=m（L∥x轴）有且只有一个公共点∴m=2故答案为：2．【点评】本题以圆为载体，考查直线与圆的位置关系，关键是利用圆的特殊性．6．（3分）已知复数z1=3+4i，z2=t+4i，且z1是实数，则实数t等于3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z1，再由其虚部为0求得t值．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=t+4i，∴z1=（3+4i）（t﹣4i）=（3t+16）+（4t﹣12）i，由z1是实数，得4t﹣12=0，即t=3．故答案为：3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．（3分）设复数z=cosθ+isinθ，则|z﹣i|的最大值是2【分析】直接利用复数模的公式列式，再由三角函数最值的求法得答案．【解答】解：∵z=cosθ+isinθ，∴|z﹣i|=|cosθ+（sinθ﹣1）i|==．∴当sinθ=﹣1时，|z﹣i|的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查复数的模，考查三角函数最值的求法，是基础题．8．（3分）以双曲线=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为【分析】求得双曲线的标准方程，则求得焦点和顶点坐标，即可求得a和c，则b2=a2﹣c2，即可求得椭圆的标准方程．第6页（共15页）【解答】解：双曲线=1可得双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标为（，0），（，0），顶点坐标为（3，0），（﹣3，0），由题意设椭圆的焦点坐标为（3，0），（﹣3，0），顶点坐标为（，0），（，0），则a=2，c=3，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：，故答案为：，【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线的简单几何性质，属于基础题．9．（3分）已知点A（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，若点P在抛物线上运动，当|PA|+|PF|取最小值时，点P的坐标为（2，2）．【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，即可得到结论．．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，∵A（3，2），∴P点的纵坐标y=2，此时由y2=2x得x=，即P（2，2），故答案为：（2，2）第7页（共15页）【点评】本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数形结合的思想和抛物线定义的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键．10．（3分）已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F交双曲线的左支于A，B两点，且|AB|=9，则△ABF2的周长为50【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决．求出周长即可．【解答】解：根据题意双曲线=1，双曲线图象如图：|AF2|﹣|AF1|=2a=16①|BF2|﹣|BF1|=2a=16②而|AB|=9，①+②得：|AF2|+|BF2|=41，∴周长为50．故答案为：50．第8页（共15页）【点评】本题考查双曲线的定义，通过对定义的考查，求出周长，属于基础题．11．（3分）以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为（x﹣5）2+y2=16．【分析】求出椭圆的右焦点得到圆心，再求出双曲线的渐近线，由圆心到渐近线的距离得到圆的半径，由此可以得到圆的方程．【解答】解：∵c2=169﹣144=25，∴椭圆的右焦点为F（5，0），∴所求圆的圆心坐标是（5，0）．∵双曲线的渐近线方程是，由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，∴所求圆的半径为4．故所求圆的方程是（x﹣5）2+y2=16．答案：（x﹣5）2+y2=16．【点评】求出圆的圆心和半径，就得到圆的方程．12．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的取值范围是[1，]【分析】化简|PA|=m|PB|，通过距离公式以及基本不等式转化求解最值即可．第9页（共15页）【解答】解：设P（，y），由题意可得m2====1+，1≤m2≤1+=3，∴1≤m≤，当且仅当y2=2时，m取得最大值，y=0时，m取得最小值，则m的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用，运用基本不等式求出m2≤3，是解题的关键．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律不得分13．（3分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1B．2C．4D．8【分析】先根据抛物线的方程求出p的值，即可得到答案．【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．属基础题．14．（3分）已知F1，F2是定点，|F1F2|=5，若动点P满足|PF1|+|PF2|=5，则动点P的轨迹是（）A．直线B．线段C．圆D．椭圆【分析】分情况讨论，可得当P不在直线F1F2上时或在直线F1F2上且在F1、F2两点之外时，都有|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；只有点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，符合题意．由此得到本题答案．【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=5，且|F1F2|=5第10页（共15页）∴|PF1|+|PF2|=|F1F2|①当点P不在直线F1F2上时，根据三角形两边之和大于第三边，得|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；②当点P在直线F1F2上时，若点P在F1、F2两点之外时，可得|PF1|+|PF2|＞5，得到|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，不符合题意；若点P在F1、F2两点之间（或与F1、F2重合）时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，符合题意．综上所述，得点P在直线F1F2上且在F1、F2两点之间或与F1、F2重合，故点P的轨迹是线段F1F2．故选：B．【点评】本题给出动点P满足的条件，求P点的轨迹，着重考查了动点轨迹的求法和椭圆的定义等知识，属于基本知识的考查．15．（3分）若椭圆=1与双曲线=1（m∈R）有相同的焦点，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．不确定【分析】先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线：有则半焦距c2=∴第11页（共15页）则实数m=±1故选：C．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，主要考查了椭圆双曲线的标准方程．在