居余马线性代数第三章课后习题

第三章课后习题及解答将1，2题中的向量表示成4321,,,的线性组合：1．.1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T4T3T21TT2．.1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321解：设存在4321,,,kkkk使得44332211kkkk，整理得14321kkkk24321kkkk14321kkkk14321kkkk解得.41,41,41,454321kkkk所以432141414145.设存在4321,,,kkkk使得44332211kkkk，整理得02321kkk，04321kkkk，0342kk，1421kkk.解得.0,1,0,14321kkkk所以31.判断3，4题中的向量组的线性相关性：3..6,3,1,5,2,0,1,1,1T3T2T14..3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T3T2T1，解：3.设存在321,,kkk使得0332211kkk，即065032032132131kkkkkkkk，由0651321101，解得321,,kkk不全为零，故321,,线性相关.4.设存在321,,kkk使得0332211kkk，即0142407203033213212131kkkkkkkkkk可解得321,,kkk不全为零，故321,,线性相关.5.论述单个向量）（naaa,,,21线性相关和线性无关的条件.解：设存在k使得0k，若0，要使0k，当且仅当0k，故，单个向量线性无关的充要条件是0；相反，单个向量）（naaa,,,21线性相关的充要条件是0.6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关.证：设向量组nn,,,,121线性无关，利用反证法，假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21niriiir线性相关，则向量组nn,,,,121线性相关，与向量组nn,,,,121线性无关矛盾，所以该命题成立.7.证明：若21,线性无关，则2121,也线性无关.证：方法一，设存在21,kk使得0)()(212211kk，整理得，0)()(221121kkkk，因为21,线性无关，所以002121kkkk，可解得021kk，故2121,线性无关.方法二，因为）（2121,1111,21）（，又因为021111，且21,线性无关，所以向量组2121,的秩为2，故2121,线性无关.8.设有两个向量组s,,,21和,,,,21s其中,13121111kaaaa,3222122ksaaaa,,321ksssssaaaas,,,21是分别在s,,,21的k个分量后任意添加m个分量mjjjbbb,,,21),,2,1(sj所组成的mk维向量，证明：(1)若s,,,21线性无关，则s,,,21线性无关；(2)若s,,,21线性相关，则s,,,21线性相关.证：证法1，(1)设sA,,,21，sB,,,21，因为s,,,21线性无关，所以齐次线性方程0AX只有零解，即,)(sAr且sBr)(，s,,,21线性无关.证法2，因为s,,,21线性无关，所以齐次线性方程0AX只有零解，再增加方程的个数，得0BX，该方程也只有零解，所以s,,,21线性无关.(2)利用反证法可证得，即假设s,,,21线性无关，再由（1）得s,,,21线性无关，与s,,,21线性相关矛盾.9.证明：133221,,线性无关的充分必要条件是321,,线性无关.证：方法1，（133221,,）=（321,,）110011101因为321,,线性无关，且02110011101，可得133221,,的秩为3所以133221,,线性无关.线性无关；反之也成立.方法2，充分性，设321,,线性无关，证明133221,,线性无关.设存在321,,kkk使得0)()()(133322211kkk，整理得，0)()()(332221131kkkkkk因为321,,线性无关，所以000322131kkkkkk，可解得0321kkk，所以133221,,线性无关.必要性，（方法1）设133221,,线性无关，证明321,,线性无关，假设321,,线性相关，则321,,中至少有一向量可由其余两个向量线性表示，不妨设321,可由线性表示，则向量组133221,,可由32,线性表示，且23，所以133221,,线性相关，与133221,,线性无关矛盾，故321,,线性无关.方法2，令133322211,,，设存在321,,kkk使得0332211kkk，由133322211,,1144得）（）（）（32133212321121,21,21，代入0332211kkk得，0212121321332123211）（）（）（kkk，即0)()()(332123211321kkkkkkkkk因为321,,线性无关，所以000321321321kkkkkkkkk可解得0321kkk，所以321,,线性无关.10.下列说法是否正确？如正确，证明之；如不正确，举反例：（1）m,,,21）（2m线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关；解：不正确，必要条件成立，充分条件不成立，例：2维向量空间不在一条直线的3个向量，虽然两两线性无关，但这3个向量线性相关。设111001321，，，321,,两两线性无关，而321,,线性相关.（2）m,,,21）（2m线性相关的充分必要条件是有1m个向量线性相关；解：不正确，充分条件成立，但必要条件不成立，例：设111001321，，，321,,线性相关，而俩321,,两两线性无关.(3)若21,线性相关，21,线性相关，则有不全为零的数21,kk，使得02211kk且02211kk，从而使得0222111）（）（kk，故2211，线性相关.解：不正确，因为21，线性相关和21，线性相关，不一定存在同一组不全为零的数21,kk，使得02211kk和02211kk成立；或者说存在两组不全为零的数21,kk和21,tt使得02211kk和02211tt成立.(4).若321,,线性无关，则133221,,线性无关.解：不正确，因为取1，1，1这组常数，使得0133221）（）（）（，所以133221,,线性相关.(5)若4321,,,线性无关，则14433221,,,线性无关；解：不正确，因为14433221,,,线性相关，由9题，n为奇数个时，线性无关，n为偶数时，线性相关.(6).若n,,,,321线性相关，则113221,,,,nnn线性相关；解：正确，因为n,,,,321线性相关，所以n,,,,321中至少有一向量可由剩余的1n个向量线性表示，则113221,,,,nnn也可由那剩余的1n个向量线性表示，再因为1nn，所以113221,,,,nnn线性相关.11.如果4321,,,线性相关，但其中任意3个向量都线性无关，证明必存在一组全不为零的数4321,,,kkkk，使得044332211kkkk.证：因为4321,,,线性相关，所以存在不全为零的常数4321,,,kkkk，使得044332211kkkk，假设01k，则0443322kkk，得432，，线性相关与题设矛盾.故01k；同样方法可证得432,,kkk都不为零.所以该命题成立.12.若r,,,21线性无关，证明：r,,,,21线性无关的充分必要条件是不能由r,,,21线性表示.证：必要性，假设能由r,,,21，则r,,,,21线性相关与r,,,,21线性无关矛盾，故不能由r,,,21线性表示.充分性，设存在rkkkk,,,,210使得03322110rrkkkkk，若00k，则能由r,,,,321线性表出，矛盾，所以00k，因此，0332211rrkkkk，又因为r,,,21线性无关，所以021rkkk，故，r,,,,21线性无关.13.求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示：（1）;)3,1,0,1,7(),22,6,9,4,1(),4,3,2,0,1(),2,9,1,4,6(4321（2）)0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321;（3）.)3,2,1(),0,0,1(),0,1,1(),1,1,1(4321解：（1）TTTT4321,,,=32242163909211404711600000000100005100101所以，向量组的秩为3，421,,为一个极大线性无关组，2135.（2）类似（1），可求得向量组的秩为3，421,,为一个极大线性无关组，且2133，2145.（3）类似（1），可求得向量组的秩为3，321,,为一个极大线性无关组，312435.14.设向量组：).6,5,1,2(),0,2,1,1(,)6,5,1,2(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(545321（1）证明21，线性无关；（2）求向量组包含21，的极大线性无关组.（1）证：设存在21,kk,使得02111TTkk，求得021