1.3.1函数的单调性与导数

1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数本节重点：利用导数研究函数的单调性．本节难点：用导数求函数单调区间的步骤．（5）对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（4）指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（（3）三角函数：xxsin)(cos2）（（1）常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）幂函数：(xn)/nxn1一、复习回顾：1.基本初等函数的导数公式函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时yxoabyxoab1）都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在G上是增函数；2）都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在G上是减函数；若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间G=(a,b)oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在（－∞，0）和（0,＋∞）上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－∞，1）上是减函数，在（1,＋∞）上是增函数。在(－∞,＋∞)上是增函数3.画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间说明：(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.分的创立导致了微积期的研究数量的变化规律进行长我们可以对通过研究函数这些性质常重要的或最小值等性质是非与慢以及函数的最大值减的快了解函数的增与减、增研究函数时型化规律的重要数学模函数是描述客观世界变,,.,..,,数中的作用可以体会导数在研究函从中你的性质我们运用导数研究函数下面二、新课:2'1.3114.96.510,1.3129.86.5.,?hhtttvtvthtt图表示高台跳水运动员的高度随时间变化的函数的图象图表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象运动员从起跳到最高点以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有观什么区别察Othab1131.图Otabv2131.图.thtv,.th,th,:,'01相应地是增函数即的增加而增加时间随离水面高度运动员从起跳到最高点我们可以发现通过观察图象.thtv,.th,th,'02相应地是减函数即的增加而减小时间随运动员离水面高度从最高点到入水?这种情况是否思具有一般性呢考答：是这种情况具有一般性.,.系调性与其导数正负的关探讨函数的单图观察下面一些函数图象231xyyxO12xyOyx23xyOyx3xy1Oyx4231.图()10fx()2fxx2()30fxx21()0fxx331.图xfyOyx00xf,x11xf,x'000'000'1111.33,,.,0,,,;,0,,,.fxfxxfxxxfxfxxxxfxfxx如图导数表示函数在点处的在处切线是式的这时函数在附切线的斜率左下近单调在处切线是式的这时函右上递增数在附近左上右单调下递减:,正负有如下关系函数的单调性与导数的一般地.xfy,xf;xfy,xf,b,a''在这个区间内单调递减那么函数如果在这个区间内单调递增那么函数如果内在某个区间00,.yfx请同学们回顾一下函数单调性的定义并思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与其导数正思负的关系考'0,?fxyfx如果在某个区间内恒有那么函数有什么特征常数函数见书P241．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系：如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为2．求函数单调区间的步骤：(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是单调递增单调递减常数函数增函数减函数'''':14,0;4,1,0;4,1,0..1:fxxfxxxfxxxfxfx已知导数的下列信息当时当或时当或时试画出函数图象的大致形状例'14,0,:;xfxfx当时可知在此区间内单调递增解'4,1,0,,.xxfx当或时这两点比较特殊我们称它们为临界点;xf,xf,x,x'内单调递减在这两个区间可知时或当014..xf,所示图象的大致形状如图函数综上431431.图Oxy413232,:13;223;3sin,0,;24.:23241fxxxfxxxfxxxxfxxxx判断下列函数的单调性并求出单例调区间3'2213,33310:.fxxxfxxx解因为所以3,3,1.351.fxxxxR因此函数在上单调递增如图所示xyox3xxf3153.1图.1x22x2xf,3x2xxf2'2所以因为;3x2xxf,1x,0xf2'单调递增函数时即当.3x2xxf,1x,0xf2'单调递减函数时即当.253.13x2xxf2所示的图象如图函数xyo3x2xxf2253.1图1.xf,π,0x,xxsinxf3'所以因为.353.1.π,0x,xxsinxf,所示如图内函数因此xyoxxsinxf353.1图π01cosx单调递减.453.11x24x3x2xf23所示的图象如图.xf,1x24x3x2xf4'23所以因为15Oxy1x24x3x2xf23453.1图;xf,,0xf'函数时即当.xf,,0xf'函数时即当11711722xx或11711722x2466)(2xxxf单调递增单调递减例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:.12432)()4(23xxxxf解:(4)因为,所以32()23241fxxxx当,即时,函数单调递增;0)(xf21712171xx或)(xf当,即时,函数单调递减.0)(xf2466)(2xxxf21712171x)(xf,,???如果不用导数的方法直接运用单调性的定义你如何求解本题运算过程麻烦吗你有什么体会1232321112223322121212221211221212122212112212()()23241(23241)2()3()24()2()()3()()24()()[2()3()24]fxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx运算过程麻烦63.1图1.36,(),3:.ht如图水以恒速即单位时间内注入水的体积相同注入下面四种底面积相同的容器中请分别找出与各容器对应的高度与时间的函数关系图象例1234AothBothCothDoth2Aoth2,,,,.,..A以容器为例由于容器上细下粗所以水以恒速注入时开始阶段高度增加得慢以后高度增加得越来越快反映在图象上符合上述变化情况同理可知其他三种容器分的情况析.C4,D3,A2,B1解3?:,,,.,例表明通过函数图象不仅可以看出函数的增与减还可以看出其增减的快慢结合图象你能从导数的角度解释增减思快慢的情况吗考见书P26oxyaa73.1图,,,,;,.1.37,0,,0,,,.yfxaaaa一般地如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大那么函数在这个范围内变化得快这时函数的图象就比较向上或向下反之函数的图象就一些如图所示函数在或内图象陡峭在或峭平缓内平缓陡练习1.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab见书P26练习3练习2.求证:函数在内是减函数.762)(23xxxf解:762)(23xxxf.126)(2xxxf)2,0(由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.0)(xf20x)(xf)2,0()2,0()(xf见书P26练习4练习3：已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.(1)求实数a,b,c的值;(2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的单调区间,并指出函数F(x)在该区间上的单调性.解:(1)∵f(x)=2x3+ax的图象过点P(2,0),∴a=-8.∴f(x)=2x3-8x.∴f(x)=6x2-8.∵g(x)=bx2+c的图象也过点P(2,0),∴4b+c=0.又g(x)=2bx,4b=g(2)=f(2)=16,∴b=4.∴c=-16.∴F(x)=2x3+4x2-8x-16.综上所述,实数a,b,c的值分别为-8,4,-16.∴223+2a=0.∴f(2)=622-8=16.(2)由(1)知f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.∴F(x)=6x2+8x-8.由F(x)0得x-2或x;23由F(x)0得-2x.23∴F(x)的单调区间为:(-∞,-2)、(-2,)和(,+∞),2323(-∞,-2)上是增函数,在(,+∞)上也是增函数.2323并且F(x)在(-2,)上是减函数,在1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求f’(x);(2)解不等式f’(x)0(或f’(x)0);(3)确认并指出递增区间（或递减区间）.2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求f’(x);(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号;(3)作出结论.小结：一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a3、学习方法指导：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．（2）在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．（3）注意在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．如f(x