1.3.1函数的单调性与导数第一时(公开课)

1、一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有问题：函数单调性的定义怎样描述的?(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.(2)作差f(x1)－f(x2)(作商)2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1x2.(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与0比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？1.3.1函数的单调性与导数高二数学选修2-2第一章导数及其应用2yx0.......观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.xyOxyOxyOy=xy=x2xy1观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.()yfx结论：在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.()0fx()0fx()yfx如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注意:如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数如果f´(x)0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.如果f´(x)0,例1、求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋∞）f(x)的单减区间(0,2)说明：当x=0或2时,f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.题型一：求函数的单调性、单调区间变式1：求函数的单调区间。1yx解:21'0,yx0,x但1(,0)(0,)yx的单调递减区间为，变式2：求函数的单调递减区间。xxyln2121,0注意：考虑定义域小结：根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f´(x)0,得函数单增区间;解不等式f´(x)0,得函数单减区间.练习：求下列函数的单调区间增区间为(0,+∞)减区间为(-∞,0)注意：考虑定义域题型一：求函数的单调性、单调区间1)()1(xexfx)2,2((2cos)()3(xxxxf12432)()4(23xxxxf33)()2(xxxf增区间为)6,2(减区间为)2,6(增区间为(-1,1)减区间为(-∞,-1),(1,+∞)增区间为),2171(),2171,(减区间为)2171,2171(ABxyo23()yfx题型二：应用导数信息确定函数大致图象例2、已知导函数的下列信息：32()0xxfx当或时，试画出函数f(x)图象的大致形状。23()0xfx当时，32()0xxfx当或时，已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfxABxyo23()yfx题型二：应用导数信息确定函数大致图象已知导函数的下列信息：23'()0;32'()0;32'()0.xfxxxfxxxfx当时，当或时，当或时，试画出函数图象的大致形状。()fx分析：()fx在此区间递减()fx在此区间递增()fxx图象在此两处附近几乎没有升降变化,切线平行轴ABxyo23()yfx解：的大致形状如右图：()fx这里，称A,B两点为“临界点”题型二：应用导数信息确定函数大致图象xyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo12()yfxxyo'()yfx2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类)设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()()fx'()fx'()yfx()yfxcossin335(,)(,2)(,)(2,3)22.2..2.yxxxABCD函数在下面哪个区间内是增函数()(04年全国理)B(,2)该函数在上为增函数。xxxx(,2)sin0,sin0,如图,当时，yxxxxx''cos(cos)'(sin)'解：xxxxxxcossinossincy'0即：xyo23yxsin例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO1),(2)(),(3)(),(4)()BADC解：（）（一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象“平缓”.)(xfy),0(b)0,(a),(b),(a通过函数图像，不仅可以看出函数的增或减，还可以看出其变化的快慢，结合图像，从导数的角度解释变化快慢的情况。练习函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy)(xfOabcxyyfx一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间如果f´(x)0,则f(x)为增函数;则f(x)为减函数.如果f´(x)0,小结1、函数单调性与导数正负的关系：2、根据导数确定函数的单调性步骤：（1）确定函数f(x)的定义域.（2）求出函数的导数.（3）解不等式f´(x)0,得函数单增区间;解不等式f´(x)0,得函数单减区间.325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围题型三：根据函数的单调性求参数的取值范围思考：2120101fxaxx,,fxxx,a.例2：已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围题型三：根据函数的单调性求参数的取值范围325f(x)ax-xx-,解：在(-,+)上单调递增23210f'(x)ax-x在(-,+)上恒成立。04120aa13a2120101fxaxx,,fxxx,a.例2：已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围322f'xax解：()∵函数在（0，1]上单调递增f'x()0,31gxx而()在（0，1]上单调递增，1a-gxgmax()(1)=-1所以a的范围是[-1，+）31a-xx即在（0，1]上恒成立43(g'xx()0在（0，1]上恒成立）注：在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f'x()0(或0)f'x()0(或0)本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx函数单调性与导数的关系1.如果在区间(a,b)内f’(x)0(f’(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,那么f’(x)≥0(f’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。练习1：已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。解：f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，∴a0且△=36+12a≤0，∴a≤-3320fxax-xxafxa练习2已知函数()=，(0,1],,若()在（0，1]上是增函数，求的取值范围。,3[)232fxax-x解：()=在（0，1]上是增函数，2230f'xa-x()=在（0，1]上恒成立，232ax即：在（0，1]上恒成立，23322g(x)x而在（0，1]上的最大值为，32a。例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12f(x)x-sinx,x(,)解：112f'(x)cosxf(x)在（，）上是单调函数，00xfx而当时，（)=01002xsinxx.方程有唯一的根练习4.求证:函数在内是减函数.762)(23xxxf解:32()267fxxx2()612.fxxx)2,0(由,解得,所以函数的递减区间是,即函数在内是减函数.0)(xf20x)(xf)2,0()2,0()(xf函数单调性与导数的关系1.如果在区间(a,b)内f’(x)0(f’(x)0),那么函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）2.如果函数f(x)在(a,b)内为增函数（减函数）,那么f’(x)≥0(f’(x)≤0）在区间(a,b)内恒成立。