数列基本知识点

第1页数列基本知识点1.等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质等差数列等比数列定义常数）为(}{1daaPAannn常数）为(}{1qaaPGannn通项公式na=1a+（n-1）d=ka+（n-k）d=dn+1a-dknknnqaqaa11求和公式ndanddnnnaaansnn)2(22)1(2)(1211)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnasnnn中项公式A=2ba推广：2na=mnmnaaabG2。推广：mnmnnaaa2性质1若m+n=p+q则qpnmaaaa若m+n=p+q，则qpnmaaaa。2若}{nk成A.P（其中Nkn）则}{nka也为A.P。若}{nk成等差数列（其中Nkn），则}{nka成等比数列。3．nnnnnsssss232,,成等差数列。nnnnnsssss232,,成等比数列。4)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm2判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证)(11nnnnaaaa为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证212nnnaaaNnaaannn)(221都成立。3.在等差数列｛na｝中,有关Sn的最值问题：(1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最大值.(2)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值第2页4ns与na之间的关系2111nSSnSannn（所以在有ns与na关系的时候，我们应该尽量只留其中的一个，一般题目要我们求那一个我们就保留那一个，如若不会就两个都试一下）1123....()naaaafn(1)像这种“连和”的形式我们要求na，就必须消掉它前面的。我们可以取1nn相减即：1231....(1)naaaafn(2)(1)(2)式我们就可以只有na的表达式了。()(1)nafnfn2123....()naaaafn(1)像这种“连乘的形式”的形式我们要求na，就必须消掉它前面的。我们可以取1nn相除即：1231....(1)naaaafn(2)(1)(2)式有：()(1)nfnafn5求通项公式通项公式（一般的方法都是关于通项的递推关系，即后一项与前一项的关系，即1na与na的关系，因此我们在处理问题的时候应该先将题目中的条件转化为1na与na的这种递推关系）1、已知)2)((1nnfaann，，则求na可用累加法.例1在数列{}na中，12a，11ln(1)nnaan，则naA．2lnnB．2(1)lnnnC．2lnnnD．1lnnn2已知)2)((1nnfaann，求na用累乘法.31(1)nnapaqp用待定系数法41nnndaeabac倒数的关系。（取不动点法）第3页5221nnaba（指数型的关系取对数的方法）611nnnabaca（二阶线性关系）6求和（1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1nnnn；②1111()()nnkknnk；③)(1)0(1nknkkknn④211111111(1)(1)1kkkkkkkkk.（2）错位相减法：nnncab{}na为等差数列，{}nb为等比数列。即一个等差数列乘以一个等比数列可以采用乘公比错位相减法。如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.设{an}是等差数列，且公差为d,{bn}是等比数列，且公比为q,记Sn=a1b1+a2b2+…+anbnnnnnnnnbabababababaS1122332211...①nqS1112233221...nnnnnnnnbabababababa②nSq)1(11ba11232)...(nnnnnbabbbbbd（3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.第4页等差数列[重点]等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式。1．定义：数列{an}若满足an+1-an=d(d为常数)称为等差数列，d为公差。它刻划了“等差”的特点。2．通项公式：an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)。若d0，表示an是n的一次函数；若d=0，表示此数列为常数列。3．前n项和公式：Sn=2)(1naan=na1+ndanddnn)2(22)1(12。若d0,表示Sn是n的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示Sn=na1.4．性质：①an=am+(n-m)d。②若m+n=s+t,则am+an=as+at。特别地；若m+n=2p,则am+an=2ap。5.方程思想：等差数列的五个元素a1、、d、n、an、sn中最基本的元素为a1和d，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。函数思想：等差数列的通项和前n项和都可以认为是关于n的函数，因此数列问题可以借助于函数知识来解决。[难点]等差数列前n项和公式的推导，通项和前n项和的关系，能够化归为等差数列问题的数列的转化。如：an与sn关系：an=11nnsss21nn此公式适用于任何数列。化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。[重点]等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式。1．定义：数列{an}若满足nnaa1=q(qq,0为常数)称为等比数列。q为公比。2．通项公式：an=a1qn-1(a10、q0)。3.前n项和公式：Sn=qqaaqqanann11)1(111（q1）4.性质：（1）an=amqn-m。（2）若m+n=s+t，则aman=asat,特别地，若m+n=2p，则aman=a2p，（3）记A=a1+a2+…+an,B=an+1+an+2+…a2n,C=a2n+1+a2n+2…+a3n,则A、B、C成等比数列。5．方程思想：等比数列中的五个元素a1、q、n、an、Sn中，最基本的元素是a1和q，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。函数思想：等比数列的通项和前n次和都可以认为是关于n的函数。[难点]等比数列前n项和公式的推导，化归思想的应用。第5页考点十二数列求和（裂项及错位）1等比数列{na}的前n项和为nS，已知对任意的nN，点(,)nnS均在函数(0xybrb且1,,bbr均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记1()4nnnbnNa，求数列{}nb的前n项和nT.这恰好需要对递推关系式11,(1),(2)nnnSnaSSn的正确理解2数列{}na的前n项和为nS，若1(1)nann，则5S等于（）A．1B．56C．16D．1303已知11(1)nnaann(2)n，11a(1)写出数列的前5项；(2)求an．4求Sn=(x+y1)+(x2+21y)+…+(xn+ny1)(y0)。5.已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，⑴设数列),2,1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；⑵设数列),2,1(,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；⑶求数列na的通项公式及前n项和.第6页6.设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有23333231nnSaaaa，记Sn为数列{an}的前n项和.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若nannnb2)1(31（为非零常数，n∈N+），问是否存在整数，使得对任意n∈N+，都有bn+1bn.8数列{}na的前n项和nS与通项na满足关系式222()nnSnannnN,则10010aa(A)90(B)180(C)360(D)4009.一个等差数列共有10项，其中奇数项和为225，偶数项和为15，则这个数列的第6项是A．3B．4C．5D．610在数列na中，21a且3231nnaa，则na11已知12nan，nnb)21(，则数列nnba的前n项和nS____________．12已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n(2)Sn＝n2＋1(3)Sn＝2n＋313求数列的通项公式：(1){an}中，a1＝2，an+1＝3an＋2(2){an}中，a1=2，a2＝5，且an+2－3an+1＋2an＝0思路：转化为等比数列．第7页解(1)a=3a2a1=3(a1)n+1nn+1n＋＋＋∴{an＋1}是等比数列∴an＋1=3·3n-1∴an=3n－1(2)a3a2a=0aa=2(aa)n+2n+1nn+2n+1n+1n－＋－－∴{an+1－an}是等比数列，即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-114已知数列nanN是等比数列,且130,2,8.naaa(1)求数列na的通项公式;(2)求证:11111321naaaa；(3)设1log22nnab,求数列nb的前100项和.15.已知数列na的相邻两项1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,且11a.(1)求证:数列nna231是等比数列;(2)求数列nb的前n项和nS.第8页17.已知数列na的前n项和为11,4nSa且1112nnnSSa，数列nb满足11194b且13nnbbn(2)nnN且．（１）求na的通项公式；（２）求证：数列nnba为等比数列;（３）求nb前n项和的最小值．18设数列na满足*,)(,Nnanaann1122111.(1)求证:数列nan为等比数列；(2)求数列na的前n项和为nS；(3)若不等式nnnaSa12对任意*Nn的恒成立,求实数a的取值范围.20.已知二次函数2()fxaxbx满足条件:①(0)(1)ff;②()fx的最小值为18.(Ⅰ)求函数()fx的解析式;(Ⅱ)设数列{}na的前n项积为nT,且()45fnnT,求数列{}na的通项公式;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若5()nfa是nb与na的等差中项,试问数列{}nb中第几项的值最小?求出这个最小值.第9页21已知点nbaPbaPbaPnnn)(,(,),,(),,(222111*N)都在函数xy21log的图象上.(1)若数列nb是等差数列,求证数列na为等比数列；(2)若数列na的前n项和为nS=n21,过点1,nnPP的直线与两坐标轴所围成三角形面积为nc,求使tcn对nN恒成立的实数t的取值范围.【例10】{a}b=(12)bbb=218bbb=18nnan123123设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．第10页