第三章二维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布第三章二维随机变量及其联合分布边缘分布与独立性两个随机变量的函数的分布例如E：抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此，将二者作为一个整体来进行研究，记为(X,Y),称为二维随机变（向）量。设X、Y为定义在同一样本空间Ω上的随机变量，则称向量（X，Y）为Ω上的一个二维随机变量。定义二维随机变量二维随机变量(X,Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A二维随机变量的联合分布函数若（X，Y）是随机变量，对于任意的实数x,y.定义(,){,}FxyPXxYy称为二维随机变量的联合分布函数性质(1)(,)Fxyxy分别关于和单调不减(,)0Fy(,)0Fx(,)0F(,)1F(2)0(,)1Fxy(3)xy(x,y)XYx1y1(x1,y1)x2y2(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)121222211211(,)(,)(,)(,)(,)PxXxyYyFxyFxyFxyFxy联合分布函数表示矩形域概率二维离散型随机变量若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值只有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？定义研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。（X，Y）的联合概率分布（分布律）表达式形式,(1,2,;1,2,)ijijPXxYypij111ijijpYX1y2yjy1x11p12p1jp2x21p22p2jpix1ip2ipijp。。。......。。。...。。。......。。。...。。。...。。。...。。。...。。。。。。...。。。......。。。。。。......。。。...。。。。。。......。。。。。。......。。。。。。表格形式（常见形式）性质01ijp联合分布函数F(x,y)=P{X≤x，Y≤y}=ijijxxyyp一个口袋中有三个球，依次标有数字1，2，2，从中任取一个，不放回袋中，再任取一个，设每次取球时，各球被取到的可能性相等.以Ｘ、Ｙ分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字，求(,)XY的联合分布列.(,)XY的可能取值为(1，2)，(2，1)，(2，2).Ｐ{Ｘ＝１，Ｙ＝２}＝(1/3)×(2/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝１}＝(2/3)×(1/2)＝1/3，Ｐ{Ｘ＝２，Ｙ＝２}=(2/3)×(1/2)＝1/3，1/31/3２1/3０１２１ＹＸ例1解例2将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.解X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:XY0413223140P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)==1/4=6/16P(X=3,Y=1)==1/4P(X=4,Y=0)=0.54=1/16联合概率分布表为:X01234Y0123400001/160001/40006/160001/40001/160000P(X=1,Y=3)=0.54=1/161340.50.5C22240.50.5C33140.50.5C例3设随机变量Y~N(0，1),令2|Y|,12|Y|,0X,1|Y|,11|Y|,0X21解(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=1-P(|Y|2)=2-2Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|2)=P(1≤|Y|2)=P(-2≤Y-1)+P(1≤Y2)=2P(1≤Y2)=2[Φ(2)-Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|1)=2Φ(1)-1=0.6826联合概率分布表为:X101X2010.04550.271900.6826求(X1,X2)的联合概率分布。例4二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y0120.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)解(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75,()ijijxyDp若存在非负函数f（x，y），使对任意实数x，y，二元随机变量(X,Y)的分布函数可表示成如下形式(,)(,)xyFxyfuvdudv则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度定义记为（X，Y)～f(x,y)(,)(,)DPXYDfxydxdy联合概率密度函数的性质(,)1fxydxdy((,))(,)DPxyDfxyd非负性几何解释Dxy(,)fxy(,)0fxy.2(,)(,)Fxyfxyxy.(,)1F随机事件的概率=曲顶柱体的体积设二维随机变量(,)XY的概率密度为(1)确定常数k；(23)0,0(,)0xykexyfxy其它(,)XY(2)求的分布函数；{04,01}PXY(3)求；.{}PXY(4)求例1解(1)(,)fxydxdy(23)00xykedxdy2300xykedxedy230011[][]23xykee116k所以6k(23)60,0(,)0xyexyfxy其它(,)(,)xyFxyfuvdudv当时，0,0xy或(,)0Fxy当时，0,0xy且2300(,)6xyxyFxyedudv23(1)(1)xyee所以，23(1)(1),(0,0)(,)0xyeexyFxy其他(3){04,01}PXY14(23)006xyedxdy83(1)(1)0.95ee或解{04,01}PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(23)60,0(,)0xyexyfxy其它(,)XY(2)求的分布函数；(4,1)F83(1)(1)0.95ee0,0xyyxx0y{}(,)DPXYfxydxdy323[1]0yyeedy35323310055yyedyedy(,)xyfxydxdy(23)600xyyedxdy41(23)60,0(,)0xyexyfxy其它{}PXY(4)求例2已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为1(6),02,24(,)80,xyxyfxy其他求概率(1)1,3;(2)3PXYPXY解1,3(,)DPXYfxydxdy13021(6)8dxxydy224112320113(6)828yxyydx3(,)DPXYfxydxdy13021(6)8xdxxydy1232011(6)82xyxyydx524x+y=3例3设(X,Y)~其它01y0,1x0xy4)y,x(f求(X,Y)的联合分布函数.11解(1)x0,或y0时,F(x,y)=0(2)x≥1,y≥1时,F(x,y)=1(3)0≤x≤1,0≤y≤1时,F(x,y)=yxstdtds00422yx(4)0≤x≤1,y1时,F(x,y)=1004stdtdsx2x(5)x1,0≤y≤1时,F(x,y)=ystdtds01042yxyXY4xy综合即得:1,1110,11,1010,10000),(2222yxyxyyxxyxyxyxyxF或其它0D)y,x(S1)y,x(fD其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.(1)均匀分布若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为对于D中任意可度量子区域G有DGGDGSSdxdySdxdyyxfGyxP1),(}),{(其中:SG为区域G的面积.常见的二维连续型随机向量]})(2)[()1(21exp{121),(22222112112221yyxxyxf),,,,(~),(222121NYX定义如果(X,Y)的联合密度函数为其中则称(X,Y)服从参数为的二维正态分布,简记为,,,,222121,1||,0,0,,222121(2)二维正态分布边缘分布marginaldistribution(,)XY二维随机变量,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。(,){,}FxyPXxYy问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？——边缘分布问题边缘分布marginaldistribution(,)Fxy(,)XY设二维随机变量的分布函数为，(,)XYXY依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数．(){}{,}(,)XFxPXxPXxYFx()(,)XFxFx()(,)YFyFy(){}{,}(,)YFyPYyPXYyFy联合分布函数与边缘分布函数的关系二维离散型R.v.的边缘分布{,}ijijPXxYyp,1,2,3,ij如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…{}ijjiipPXxp{}jijijpPYyp关于X的边缘分布关于Y的边缘分布二维离散型R.v.的边缘分布{}jijijpPYyp关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…{}ijjiipPXxp第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二维离散型R.v.的边缘分布例1设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解关于X的边缘分布为X-102概率5/121/65/12例2设(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y0120.050.10.10.10.20.10.10.20.05求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.解(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值为-1