2016年高考数学选择题的解法技巧(绝密)

第1讲选择题的解法技巧第二篇掌握技巧，快速解答客观题内容索引题型概述方法一直接法方法二特例法方法三排除法方法四数形结合法方法五构造法方法六估算法选择题突破练题型概述选择题考查基础知识、基本技能，侧重于解题的严谨性和快捷性，以“小”“巧”著称．解选择题只要结果，不看过程，更能充分体现学生灵活应用知识的能力．解题策略：充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做．方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．例1(1)集合P＝{x|x＋1x≤2，x∈Z}，集合Q＝{x|x2＋2x－30}，则P∩(∁RQ)等于()A.[－3,0)B.{－3，－2，－1}C.{－3，－2，－1,1}D.{－3，－2，－1,0}解析当x0时，x＋1x≥2；当x0时，x＋1x≤－2，故集合P＝{x|x0或x＝1，x∈Z}.x2＋2x－30，故x－3或x1，故集合Q＝{x|x－3或x1}，故∁RQ＝{x|－3≤x≤1}，故P∩(∁RQ)＝{－3，－2，－1,1}.答案C(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝3，A＝π3，cosB＝55，则b等于()A.855B.255C.455D.1255解析由题意可得，△ABC中，sinB＝1－cos2B＝255，再由正弦定理可得asinA＝bsinB，即3sinπ3＝b255，解得b＝455.C思维升华涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错．跟踪演练1(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第m项满足6am9，则m等于()A.9B.8C.7D.6解析因为a1＝S1＝－86，所以m≥2，所以am＝Sm－Sm－1＝m2－9m－(m－1)2＋9(m－1)＝2m－10，所以6am9即62m－109，解得8m192，又m∈N*，所以m＝9.AA.－32B.32C.－12D.12(2)(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S的值为()∴S＝sin5π6＝12.选D.解析每次循环的结果依次为：k＝2，k＝3，k＝4，k＝5＞4，答案D方法二特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例2(1)(2014·上海)设f(x)＝x－a2，x≤0，x＋1x＋a，x0.若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为()A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]解析若a＝－1，则f(x)＝x＋12，x≤0，x＋1x－1，x0，易知f(－1)是f(x)的最小值，排除A，B；若a＝0，则f(x)＝x2，x≤0，x＋1x，x0，易知f(0)是f(x)的最小值，故排除C.D正确.答案D(2)已知等比数列{an}满足an0，n＝1,2,3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A.n(2n－1)B.(n＋1)2C.n2D.(n－1)2解析因为a5·a2n－5＝22n(n≥3)，所以令n＝3，代入得a5·a1＝26，再令数列为常数列，得每一项为8，则log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32.结合选项可知只有C符合要求.C思维升华特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.跟踪演练2(1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于()A.－3B.－1C.1D.3解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.C(2)已知O是锐角△ABC的外接圆圆心，∠A＝60°，cosBsinC·AB→＋cosCsinB·AC→＝2m·AO→，则m的值为()A.32B.2C.1D.12解析如图，当△ABC为正三角形时，A＝B＝C＝60°，取D为BC的中点，AO→＝23AD→，则有13AB→＋13AC→＝2m·AO→，∴13(AB→＋AC→)＝2m×23AD→，∴13·2AD→＝43mAD→，∴m＝32，故选A.答案A方法三排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案.例3(1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图.以下结论不正确的是()A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A选项正确；2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D选项错误，故选D.答案D(2)(2015·浙江)函数f(x)＝x－1xcosx(－π≤x≤π且x≠0)的图象可能为()解析∵f(x)＝(x－1x)cosx，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A，B；当x→π时，f(x)＜0，排除C.故选D.答案D思维升华排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.跟踪演练3(1)已知f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)，则f′(x)的图象是()解析f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)＝14x2＋cosx，故f′(x)＝(14x2＋cosx)′＝12x－sinx，记g(x)＝f′(x)，其定义域为R，且g(－x)＝12(－x)－sin(－x)＝－(12x－sinx)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以排除B，D两项，g′(x)＝12－cosx，显然当x∈(0，π3)时，g′(x)0，g(x)在(0，π3)上单调递减，故排除C.选A.答案A(2)(2015·北京)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是()A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d20，∴a2a1a3，故选项C正确；解析设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a20，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a30，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0a1a2，可知a10，d0，a20，a30，若a10，则(a2－a1)·(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错.答案C方法四数形结合法在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法.例4设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝gx＋x＋4，xgx，gx－x，x≥gx，则f(x)的值域是()A.[－94，0]∪(1，＋∞)B.[0，＋∞)C.[－94，＋∞)D.[－94，0]∪(2，＋∞)∴f(x)＝x2＋x＋2，x－1或x2，x2－x－2，－1≤x≤2.解析由xg(x)得xx2－2，∴x－1或x2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.即f(x)＝x＋122＋74，x－1或x2，x－122－94，－1≤x≤2.当－1≤x≤2时，－94≤f(x)≤0.当x－1时，f(x)2；当x2时，f(x)8.∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞).∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－94，0].综上可知，f(x)的值域为[－94，0]∪(2，＋∞).答案D思维升华数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论.跟踪演练4函数f(x)＝12|x－1|＋2cosπx(－2≤x≤4)的所有零点之和等于()A.2B.4C.6D.8解析由f(x)＝12|x－1|＋2cosπx＝0，得12|x－1|＝－2cosπx，令g(x)＝12|x－1|(－2≤x≤4)，h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)，又因为g(x)＝12|x－1|＝12x－1，1≤x≤4，2x－1，－2≤x1.在同一坐标系中分别作出函数g(x)＝12|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g(x)＝12|x－1|关于x＝1对称，所以函数g(x)＝12|x－1|(－2≤x≤4)和h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的交点也关于x＝1对称，且两函数共有6个交点，又x＝1也是函数h(x)＝－2cosπx(－2≤x≤4)的对称轴，所以所有零点之和为6.答案C方法五构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法.例5已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于∀x∈R，均有f(x)f′(x)，则有()A.e2016f(－2016)f(0)，f(2016)e2016f(0)B.e2016f(－2016)f(0)，f(2016)e2016f(0)C.e2016f(－2016)f(0)，f(2016)e2016f(0)D.e2016f(－2016)f(0)，f(2016)e2016f(0)解析构造函数g(x)＝fxex，则g′(x)＝f′xex－ex′fxex2＝f′x－fxex，因为∀x∈R，均有f(x)f′(x)，并且ex0，所以g′(x)0，故函数g(x)＝fxex在R上单调递减，即f－2016e－2016f(0)，f2016