正方形内的半角模型22问

正方形内的半角模型22问何为半角模型？如图a，在△ABC中，∠BAC=2∠DAE，AB=AC。这种模型就叫做“半角模型”。“半角模型”通常解题的方法是“旋转”。【例1】如图a，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、E是BC边上的点，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，求DE的长。【提示】将，△AEC绕点A顺时针旋转120º得到△APB，过点P作PM⊥BC于点M，连接PD（如图a-1）。则△APD≌△AED，∠PBM=60º。正方形中的半角模型：【例2】已知正方形ABCD，AB=6，点P在对角线BD上，AP交DC于点G，PH⊥DC，PE⊥PA交BC于点E，PF⊥BC于点F，连接EG交PF于点N，连接AN交PE于点M，EK⊥BD于点K，连接AE交BD于点Q。则有以下结论：（1）△PAE是等腰直角三角形；（2）EF=FC（四边形EFHP为平行四边形）；（3）PB-PD=√2BE；（4）EG=EB+DG；（5）BC+BE=√2BP；（6）GA平分∠DGE；（7）A到EG的距离为定值；（8）△EFN的周长为定值；（9）FH=AP；（10）∠BAE=∠BPE；（11）NE=NG=NP（∠NEP=∠NPE，∠NPG=∠NGP）；（12）∠KEQ=∠PEN；（13）∠APB=∠AEG；（14）∠DGE=2∠AQD；（15）PQ²=BQ²+PD²；（16）AB=√2PK（PK=3√2）；（17）若BE=2，则PF=4且DG=GC；（18）若∠EPF=22.5º，则PF=PK；（19）若△PEC是等边三角形，则PE=6√3-6（PF=9-3√3，PD=3√6-3√2）；（20）S△ABE=6，则S△ECG=6；（21）若AN⊥EG，则PD=6√2-6；（22）若AN⊥EG，则NA-NE=√2NP。【解析】（1）延长FP（如图1-1），则PIDH为正方形，∠EPF=∠PAI，∴△EPF≌△PAI，∴PA=PE，又PE⊥AP，∴△PAE为等腰直角三角形；（2）EF=IP=ID=FC，PH∥EF，故四边形EFHP为平行四边形；（3）PB-PD=√2BF-√2PH=√2（BF-PH）=√2（BF-EF）=√2BE；（4）将△ADG绕点A顺时针旋转90º得到△ABJ（如图1-2）。则AJ=AG，∠GAE=∠JAE=45º，AE=AE，∴△GAE≌△JAE，JE=EG，JE=JB+BE，JB=DG，∴EG=EB+DG；（5）∵BP=BD-PD=√2BC-√2FC，∴√2BP=2BC-2FC=BC+（BC-FC-EF）=BC+BE；（6）由（4），∠AJB=∠AGE=∠AGD，故GA平分∠DGE；（7）由（4），∠AEB=∠AEG=∠AGD，故A到EG的距离=AB=6，为定值；（8）C△ECG=EC+CG+EG=EC+CG+GD+BE=BC+CD=12，∵EF=FC，FN∥CG，∴N为EG中点，C△EFN=C△ECG÷2=6，为定值；（9）连接PC（如图1-3），根据对称性，PA=PC，四边形FCHP为矩形，∴PC=FH，∴PA=FH；（10）∵∠BAE+∠DAG=45º，∠BPE+∠EPF=45º，∠EPF=∠DAG（参照（1）的证明），∴∠BAE=∠BPE；（11）由（8）知，点N为EG中点，△EPG为直角三角形，∴NE=NG=NP（∠NEP=∠NPE，∠NPG=∠NGP）；（12）∠KEQ=∠AEB-45º=90º-∠BAE-45º=45º-∠BAE=∠DAG；∠PEN=∠EPN=∠DAG，∴∠KEQ=∠PEN；（13）∠APB=∠BPC=45º+∠FPC=45º+∠EPN=45º+∠PEN=∠AEG；（14）∠AQD=45º+∠BAE=45º+45º-∠DAG=90º-∠DAG=∠AGD，∴2∠AQD=2∠AGD=∠DGE；（15）将△ABQ绕点A逆时针旋转90º得到△ADR，连接RP（如图1-4）。则AR=AQ，∠RAP=∠QAP=45º，AP=AP，∴△RAP≌△QAP，PQ=PR，RD=BQ；∠ADR=∠ADP=45º，∴∠PDR=90º，∴PR²=RD²+PD²，即：PR²=RD²+PD²；（16）PK=BD-BK-PD=√2AB-√2BE/2-√2PH=√2AB-√2BE/2-√2FC=√2AB-（√2/2）（BE+2FC）=√2AB-（√2/2）AB=（√2/2）AB，∴AB=√2PK；或6=√2PK，PK=3√2；（17）FC=（6-2）÷2=2，∴PI=2，PF=4；设DG=x，则：（6-x）²+4²=(2+x)²，解得：x=3，∴GC=6-3=3，故DG=GC；（18）∵∠EPF=22.5º，∴∠DAG=∠BAE=22.5º，则△ADG≌△ABE，DG=BE，∴CE=CG，∠GEC=45º，∴∠KEG=90º，∵∠AEP=45º，∠KEQ=∠PEN（第12问），∴∠KEQ=∠PEN=22.5º，∴∠PEK=∠PEF=67.5º，又PF⊥EF，PK⊥EK，∴PK=PF；（19）设FC=a，则PI=a，PC=PE=2a，PF=√3a，IF=（√3+1）a=6，∴a=6÷（√3+1）=3（√3-1）；PE=6（√3-1）；PF=√3·3（√3-1）=9-3√3，PD=√2·3（√3-1）=3√6-3√2；（20）∵S△ABE=6，∴BE=2，由（17），GC=3；EC=4，∴S△ECG=3×4÷2=6；（21）∵点N为EG中点，又AN⊥EG，∴AG=AE，∴△ADG≌△ABE。∴∠DAG=∠BAE=22.5º，∴∠EPF=∠FPC=22.5º；∴∠PCF=67.5º，∵∠PBC=45º，∴∠BPC=67.5º，∴BP=BC=6，BD=6√2，∴PD=6√2-6；（22）由（21），AE=AG，∠DPG=∠DGP=67.5º，∴PD=DG=6√2-6，∵PD∥NG，PN∥DG，∴四边形DGNP为平行四边形，∴NP=DG=6√2-6，NE=NG=PD=6√2-6；∵AN⊥GN，AD⊥DG，AG=AG，∴△ADG≌△ANG，∴AN=AD=6，NA-NE=6-（6√2-6）=12-6√2，√2NP=√2（6√2-6）=12-6√2，∴NA-NE=√2NP。【点评】正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，性质丰富，如果其内部构造了“垂直模型”及“半角模型”，则海量等量关系层出不穷。本题从对称轴BD出发，求得全等三角形开始，获得线段等量关系：EF=FC=PH，而后步步为营，层层推导，不断深入，堪为经典题例。