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1Copula函数度量风险价值的MonteCarlo模拟1陈守东胡铮洋孔繁利吉林大学数量经济研究中心，吉林大学商学院，吉林，长春130012摘要：本文采用Copula方法，选取了三种具有代表性的Copula函数对金融时间序列建模，以描述不同金融数据间的相依关系，并将其应用于证券市场风险度量，进行MonteCarlo模拟计算投资组合的VaR。将Copula方法计算结果与传统的正态假设模拟结果比较表明，Copula方法对金融风险的度量要明显优于正态方法。关键词：Copula；MonteCarlo模拟；VaR中图分类号：F830.99文献标识码：A1．引言Copula的研究起源于Sklar（1959），而Nelsen(1998)比较]系统地介绍了Copula的定义、构建方法、ArchimedeanCopulas及相依性；Bouye.E,Durrleman.V,Nikeghbali.A(2000)系统地介绍了Copula在金融中的一些应用。Copula可以解释为“相依函数”或“连接函数”，是把多维随机变量的联合分布用其一维边际分布连接起来的函数。Copula目前它已被广泛地应用于金融领域，特别在金融市场上的风险管理、投资组合的选择、资产定价等方面，并且成为解决金融问题的一个有力的工具。本文讨论利用Copula函数进行风险价值的MonteCarlo模拟。在现代金融风险管理中，RiskMetrics-TechnicalDocument(1996)和Dowd,K(2002)提出风险价值(VaR)是最基本和核心度量手段。在实际研究中，刻画金融资产收益的联合分布是一个很重要的问题，一般来说金融资产收益的分布都是厚尾尖峰分布，如果采用大多数风险管理模型中的多个金融资产收益序列或风险因子的联合分布服从多元正态分布及资产组合中的每一单个资产的线性相关性假设可能对实证的结果产生很大的偏差和误导。大量的实证表明，这种假设经常与客观事实相违背（Embrechets,P.,A.Mcneil,andD.Straumann,1999），特别是当极端事件发生时，在正态分布假设下进行的资产组合的风险分析及其VaR计算与实际情况偏差较大。因为我们可以将金融资产风险分解成单个资产的风险和由投资组合产生的风险两部分，其中单个金融资产的风险可以由它们各自的边缘分布来描述，而由投资组合产生的风险则完全由连接它们的Copula函数来描述。如果投资组合中的金融资产已经确定，那么市场风险就相当于投资组合中资产结构的风险，可以完全由一个相应的Copula函数来描述。假定随机变量X和Y分别代表两种金融资产的损失，它们的边缘分布分别为)(xF和)(yG，具有Copula函数))(),((yGxFC，则投资组合的VaR可表示为：∫=−+))(),((})1({yGxFdCYXPγδδ,其中δ代表资产X在投资组合中的权重，γ为限定值,它与置信水平α是一一对应的。若Copula函数已知，但VaR的解析式很难求出,也可以通过模拟的方法计算VaR值。由于Copula技术是对整个联合分布建模,并且很容易推广到条件分布的情形(Lindskog,F.,2000)，因此可得到与真实分布更接近的联合分布，从而可以建立更为有效的风险管理模型。本文将Copula函数运用于风险管理的实证，选取三种有代表性的Copula函数描述的金融时间序列的相依关系、通过MonteCarlo模拟计算投资组合的VaR，并将其与传统正态模拟计算的投资组合的VaR结果比较。结果表明，正态模拟在α对应的不同分位数下计算的VaR都和实际值之间1本文得到04年教育部重大项目（05JJD790005）、05年国家社会科学基金项目(05BJY100)、05年国家自然科学基金项目（70573040）、“吉林大学‘985工程’项目”资助。2存在着较大误差，而三种Copula函数的模拟结果明显好于正态结果。由事后检验看出，三种Copula函数的结果跟实际的经验分布结果非常接近。在%1=α时，GumbelCopula函数在不同模拟次数下的结果和实际经验结果几乎相同；在%5=α和%10=α时，GumbelCopula的模拟结果从总体上看也好于正态Copula和t－Copula函数。三种Copula函数在不同模拟次数下的事后误差检验结果可以看出，模拟1000次的结果最差，虽然模拟5000次和1939次结果相当，但1939次总体上略好一些。2.Sklar定理、Copula函数和相依性2.1Sklar定理假设一个多维分布函数H的边际分布函数为)(,),(11xFxFnK,则存在一个Copula函数C满足，))(),((),(111nnnxFxFCxxHKK=(1)如果)(,),(11xFxFnK是连续的，则Copula函数是唯一确定的，反之亦然。由这个定理我们可以推理得出当我们确定了多个金融时间序列的边际分布和选定一个合适的Copula函数后，就可以方便的计算出这些金融时间序列的联合分布，这正是Copula函数在实际应用研究的优势所在。多维分布的选取和确定其具体形式再也不是我们所要考虑的难题，而只需确定边际分布和选取合适的Copula函数。边际分布的确定由于是一维问题，我们已经有许多研究手段可以去实现它，而Copula函数的选择则需要我们通过实证结果的分析和一些评判模型的信息准则来确定。2.2Copula函数椭球类Copula函数（EllipticalCopula）(i)正态Copula函数dsdttstsyxCxyGa∫∫−−Φ∞−Φ∞−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−=)()(22221211)1(2)2(exp)1(21),(ρρρπρ(2)其中ρ为相关系数，这个Copula函数的两个边际分布都为正态分布，积分上限)(1x−Φ为标准正态分布函数的逆。(ii)Student-tCopula函数11(2)/2()()22,12221(2)(,)1(1)2(1)vvvtxtyvtssttCxydsdtvρρρπρ−−−+−∞−∞⎧⎫−+=+⎨⎬−⎩⎭−∫∫(3)其中ρ为相关系数，1()vtx−为自由度为v的标准t分布函数的逆。ArchimedeanCopula函数ArchimedeanCopula函数类有一个共同的性质是他们都可以由一个严格单调递增的凸函数)(uφ产生。)(uφ满足∞=→)(lim0εφε及0)1(=φ。当)(uφ给定时，可以产生的一个ArchimedeanCopula形如：))()((),(1vuvuCφφφ+=−(4)(i)GumbelCopula)])ln()ln[(exp(),(/1θθθvuvuC−+−−=(5)其中vu,为[0,1]上的均匀分布变量，θ为描述两个变量间相依性关系的参数。这类Copula函数最早是由Gumbel(1960b)提出的一类Copula函数。(ii)ClaytonCopula)0,]1max([),(/1θθθ−+=−−vuvuC(6)vu,为[0,1]上的均匀分布变量，θ为描述两个变量间相依性关系的参数。这类Copula函数最3早有Clayton(1978)等人研究而提出的。(iii)FrankCopula)1)1)(1(1ln(1),(−−−+−=−−−θθθθeeevuCvu(7)vu,为[0,1]上的均匀分布变量，θ为描述两个变量间相依性关系的参数。这里Copula函数最早出现在Frank(1979)年的一篇非统计研究文献中，这类Copula函数的一些统计性质最早是由Nelsen(1986)和Genest(1987)给出的。2.3相依性(i)线性相关系数设Tyx),(为一个具有非零有限方差的随机向量，则Tyx),(的线性相关系数为)()(),(),(yVarxVaryxCovyx=ρ(8)其中),(yxCov为Tyx),(的协方差，)(),(yVarxVar分别为变量x和y的方差。线性相关系数ρ是描述随机变量相依性的一种最常用方法，其在椭球世界中是一种普遍的测量手段，计算方便意义直观。但其对相依性的描述往往假设随机变量为线性相关，且其在严格递增非线性变换下是变化的。(ii)秩相关系数秩相关性反映的是变量间的单调相依性(monotonicdependence)，因此其在非线性单调变换下的保持不变，具有良好的统计特性，要优于传统的线性相关性。秩相关系数中最具代表性的是Kendall的τ和Spearman的ρ。本文主要应用Kendall的τ进行Copula函数相关计算和参数估计。Kendall的τ定义为：}0))(Pr{(}0))(Pr{(21212121−−−−−=yyxxyyxxτ(9)其中),(),,(2211yxyx为来自同一个二维分布的两个独立的随机变量。在实际研究样本数据实我们采用下式计算Kendall的τ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=+−=2)(ndcdcdctau(10)其中c为样本变量间变化方向一致的数量，d为样本变量间变化方向相反的数量。3.实证研究本文中我们取上证指数和深圳综指的每日收盘价为样本数据，时间长度为1996.12.16～2004.12.31共1940组数据，在实证中，我们采用对数收益率、等权重投资，在三个置信度0.90，0.95和0.99下来度量组合的在险价值。我们首先通过样本数据估计各种分布函数的相关参数和确定两个股指的边际分布；然后通过样本求得的参数确定具体分布函数进行MonteCarlo模拟，产生收益率数据，计算投资组合的VaR。3.1分布及参数估计(i)描述统计日度收益定义为)ln(ln1001−−=ttPPr(11)tP为股指在时刻t时的收盘价，样本数据对数收益率的容量为1939组数据，基本的描述统计见表1。4表1：各股指和投资组合的描述统计最小值1/4分位数均值中位数3/4分位数标准差上证-9.9211-0.7530.01220.0220.74741.5778深证-10.5047-0.8085-0.01130.04140.81911.7195投资组合-10.213-0.76320.000440.03920.077121.62880500100015002000-10-8-6-4-20246810天数收益上证1939天的日收益波动0500100015002000-15-10-50510天数收益深证1939天的日收益波动图1：上证和深证收益率波动图(ii)边际分布在计算样本对数收益率后，我们还需确定Copula函数所选取的边际分布，这里分别用正态分布和t分布拟合两组序列，下面给出了两组收益率序列的分布的密度函数拟合图：图2：上证指数收益率曲线拟合图图3：深圳指数收益率曲线拟合图从图中可以很清楚的看出，自由度为3的t分布对两组序列的拟合效果要远好于正态分布拟合，说明t分布能够比正态分布捕捉金融时间序列的尖峰厚尾特性，因此在计算Copula函数时，我们将边际分布选取自由度为3的t分布。(iii)参数估计为了对所选取的Copula函数的各个参数进行估计，我们首先将两组序列转化到均匀分布，分布的散点图如下：-10-8-6-4-20246800.050.10.150.20.250.30.350.4收益密度深证密度拟合深证指数对数收益正态分布拟合Student-t(3)拟合-10-8-6-4-20246800.050.10.150.20.250.30.35收益密度上证密度拟合上证指数对数收益正态分布拟合Student-t(3)拟合500.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91上证收益转化到均匀分布U(0，1)深证收益转化到均匀分布U(0，1)上证和深证日收益转化到均匀分布U(0，1)的散点图0510152025051015202500.20.40.60.81uθ=6.0372时，GumbelCopula函数vC(u,v)0.10.20.30.40.50.60.70.80.9图4：将上证和深证收益率转化到均匀分布散点图图5：0372.6=θ时，GumbelCopula函数我们在计算投资组合的VaR时分别用