2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件：第一讲-二-2-绝对值不等式的解法

返回返回返回2．绝对值不等式的解法返回返回1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c0)型不等式的解法：先化为，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c0)的解法：先化为或，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．－c≤ax＋b≤cax＋b≥cax＋b≤－c返回2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．几何意义返回②以绝对值的为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．零点返回返回[例1]解下列不等式：(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.[思路点拨]利用|x|a及|x|a(a0)型不等式的解法求解．返回[解](1)|5x－2|≥8⇔5x－2≥8或5x－2≤－8⇔x≥2或x≤－65，∴原不等式的解集为{x|x≥2或x≤－65}．(2)原不等式价于|x－2|≥2，|x－2|≤4.由①得x－2≤－2，或x－2≥2，∴x≤0，或x≥4.由②得－4≤x－2≤4，∴－2≤x≤6.∴原不等式的解集为{x|－2≤x≤0，或4≤x≤6}．返回|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：①当c0时，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c.②当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|c的解集为∅.③当c0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为∅.返回1．解下列不等式：(1)|3－2x|9；(2)|x－x2－2|x2－3x－4；(3)|x2－3x－4|x＋1解：(1)∵|3－2x|9，∴|2x－3|9.∴－92x－39.即－62x12.∴－3x6.∴原不等式的解集为{x|－3x6}．返回(2)法一：原不等式等价于x－x2－2x2－3x－4或x－x2－2－(x2－3x－4)．∴原不等式的解集为{x|x－3}．法二：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，而x2－x＋2＝(x－12)2＋740，∴|x－x2－2|＝|x2－x＋2|＝x2－x＋2.故原不等式等价于x2－x＋2x2－3x－4⇔x－3.∴原不等式的解集为{x|x－3}．返回(3)不等式可转化为x2－3x－4x＋1或x2－3x－4－x－1，∴x2－4x－50或x2－2x－30.解得x5或x－1或－1x3，∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．返回[例2]解不等式|x－3|－|x＋1|1.[思路点拨]解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图像分析求解．返回[解]法一：在数轴上－1,3，x对应的点分别为A，C，P，而B点对应的实数为12，B到C点的距离与到A点距离之差为1.由绝对值的几何意义知，当点P在射线Bx上(不含B点)时不等式成立，故不等式的解集为{x|x12}．返回法二：原不等式⇔(1)x－1－x－3＋x＋11或(2)－1≤x3－x－3－x＋11或(3)x≥3x－3－x＋11(1)的解集为∅，(2)的解集为{x|12x3}，(3)的解集为{x|x≥3}．综上，原不等式的解集为{x|x12}．返回法三：将原不等式转化为|x－3|－|x＋1|－10，构造函数y＝|x－3|－|x＋1|－1，即y＝3，－2x＋1，－5，x≤－1，－1x3，x≥3.返回作出函数的图像，它是分段函数，函数与x轴的交点是(12，0)，由图像可知，当x12时，有y0，即|x－3|－|x＋1|－10，所以原不等式的解集是{x|x12}．返回|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．返回2．解不等式|x－2|－|x＋7|≤3.解：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.①当x－7时，不等式变为－x＋2＋x＋7≤3，∴9≤3.∴解集为空集．②当－7≤x≤2时，不等式变为－x＋2－x－7≤3，即x≥－4.∴－4≤x≤2.返回③当x2时，不等式变为x－2－x－7≤3，即－9≤3恒成立，∴x2.∴原不等式的解集为[－4，＋∞]．返回3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8.解：(1)x≤－23时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8.⇔－5x≥9.⇔x≤－95∴x≤－95；(2)－23x12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5∴x∈∅；返回(3)x≥12时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥75，∴x≥75.∴原不等式的解集为(－∞，－95]∪[75＋∞).返回[例3]已知不等式|x＋2|－|x＋3|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅，分别求出m的范围．[思路点拨]解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围．返回[解]法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图像知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m1，m的范围为(－∞，1)；返回(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)；(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．返回问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)a恒成立⇔f(x)maxa，f(x)a恒成立⇔f(x)mina.返回4．把本例中的“”改成“”，即|x＋2|－|x＋3|m时，分别求出m的范围．解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈(－1，＋∞)；(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈(1，＋∞)(3)若不等式的解集为∅，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈(－∞，－1]返回5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|m时，分别求出m的范围．解：|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，即|x＋2|＋|x＋3|≥1.(1)若不等式有解，m为任何实数均可，即m∈R；(2)若不等式解集为R，即m∈(－∞，1)(3)若不等式解集为∅，这样的m不存在，即m∈∅.