2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-5教学课件：第三讲 一 二维形式的柯西不等式

返回返回返回返回1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥(a，b，c，d∈R)．(ac＋bd)2|ac＋bd||ac|＋|bd|(ac＋bd)2返回2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则，当且仅当β是，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意]柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.零向量3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1、P2与O共线，并且P1、P2点在原点O异侧时，等号成立．|α·β|≤|α|·|β|x1－x22＋y1－y22返回(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有x1－x32＋y1－y32＋x2－x32＋y2－y32≥x1－x22＋y1－y22.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1、P2、P3的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1、P2、P3共线，并且点P1、P2在P3点的异侧时，等号成立．返回返回[例1]设m2x2＋n2y2＝1，求证：x2＋y2≥(m＋n)2.[证明]∵m2x2＋n2y2＝1，∴x2＋y2＝(x2＋y2)(m2x2＋n2y2)≥(x·mx＋y·ny)2＝(m＋n)2.[思路点拨]可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明．返回利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．返回1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1证明：由柯西不等式得(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，∴|ax＋by|≤1.返回2．已知a1，a2，b1，b2为正实数．求证：(a1b1＋a2b2)(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.证明：(a1b1＋a2b2)(a1b1＋a2b2)＝[(a1b1)2＋(a2b2)2][(a1b1)2＋(a2b2)2]≥(a1b1·a1b1＋a2b2·a2b2)2＝(a1＋a2)2.返回3．设a，b，c为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2(a＋b＋c)．证明：由柯西不等式：a2＋b2·12＋12≥a＋b，即2·a2＋b2≥a＋b.同理：2·b2＋c2≥b＋c，2·a2＋c2≥a＋c，将上面三个同向不等式相加得：2a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2≥2(a＋b＋c)∴a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2≥2·(a＋b＋c)．返回[例2]求函数y＝3sinα＋4cosα的最大值．[思路点拨]函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解]由柯西不等式得(3sinα＋4cosα)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2)＝25∴3sinα＋4cosα≤5.当且仅当sinα3＝cosα0即sinα＝35，cosα＝45时取等号，即函数的最大值为5.返回①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．返回解：2x＋y＝2×2x＋1×y≤22＋12×2x2＋y2＝3×2x2＋y2＝3.当且仅当x＝y＝33时取等号．∴2x＋y的最大值为3.4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．返回5．已知2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．解：∵(4x2＋9y2)(22＋22)≥(4x＋6y)2＝4∴4x2＋9y2≥12.当且仅当2×2x＝3y×2，即2x＝3y时等号成立．又2x＋3y＝1，得x＝14，y＝16，故当x＝14，y＝16时，4x2＋9y2的最小值为12.返回6．求函数f(x)＝x－6＋12－x的最大值及此时x的值．解：函数的定义域为[6,12]，由柯西不等式得(x－6＋12－x)2≤(12＋12)[(x－6)2＋(12－x)2]＝2(x－6＋12－x)＝12，即x－6＋12－x≤23.故当x－6＝12－x时即x＝9时函数f(x)取得最大值23.