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返回返回返回返回1．顺序和、乱序和、反序和设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和(简称)，称为这两个实数组的反序积之和(简称)．称为这两个实数组的乱序积之和(简称)．a1b1＋a2b2＋顺序和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1反序和a1c1＋a2c2＋…＋ancn乱序和…＋anbn返回2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.排序原理可简记作：．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn反序和≤乱序和≤顺序和返回返回[例1]已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c.[思路点拨]分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．返回[证明]∵a≥b0，于是1a≤1b，又c0，从而1bc≥1ca，同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3＝b2c3＋c2a3＋a2b3(∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3)≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.所以原不等式成立．返回利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．返回1．已知0αβγπ2，求证：sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγ·cosα12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．证明：∵0αβγπ2，且y＝sinx在(0，π2)为增函数，y＝cosx在(0，π2)为减函数，∴0sinαsinβsinγ，cosαcosβcosγ0.∴sinαcosβ＋sinβcosγ＋sinγcosαsinαcosα＋sinβcosβ＋sinγcosγ＝12(sin2α＋sin2β＋sin2γ)．返回2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤……≤xn.由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1即1＋x2＋x4＋…＋x2nn≥(n＋1)xn.①又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列由排序原理得：1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn②将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.返回[例2]在△ABC中，试证：π3≤aA＋bB＋cCa＋b＋c[思路点拨]可构造△ABC的边和角的有序数列，应用排序不等式来证明．返回[证明]不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C.由排序不等式，得aA＋bB＋cC≥aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a＋b＋c)，得aA＋bB＋cCa＋b＋c≥π3.返回在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．返回证明：不妨设0a1≤a2≤…≤an，则1a1≥1a2≥…≥1an，因为1c1，1c2，…，1cn是1a1，1a2，…，1an的一个排列，由排序原理得a1·1a1＋a2·1a2＋…＋an·1an≤a1·1c1＋a2·1c2＋…＋an·1cn，即a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥n.3．设c1，c2，…，cn为正数组a1，a2，…，an的某一排列，求证：a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥n.