函数的单调性与导数习题课

函数的单调性与导数(习题课)1．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．3．注意在某一区间内f′(x)0(或f′(x)0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件．如f(x)＝x3是R上的可导函数，也是R上的单调递增函数，但当x＝0时，f′(x)＝0.4．由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))的切线的斜率，在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每一点(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，则曲线在该区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内，f′(x)＜0，则曲线在该区间内是下降的．5．如果函数f(x)在点x0附近，当x＜x0时f′(x)＜0，当x＞x0时f′(x)＞0，则点(x0，f(x0))我们称作临界点.6．我们注意到由f(x)＝2x、g(x)＝3x、得f′(x)＝2、g′(x)＝3有f′(x)＜g′(x)，画图可见，g(x)与f(x)都是增函数，但g(x)比f(x)增长的快得多．自己再观察几个函数导数值的大小关系，你会发现，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间上或某点附近变化的快慢程度，导数绝对值越大，函数增长(f′(x)＞0)或减少(f′(x)＜0)的越快．1．函数y＝f(x)在区间(a，b)内的单调性与导数的关系如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内．如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为．2．求函数单调区间的步骤(1)确定f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应区间上是；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是．单调递增单调递减常数函数增函数减函数[例1]判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性．[解析]∵y′＝3ax2，又x2≥0.(1)当a0时，y′≥0，函数在R上单调递增；(2)当a0时，y′≤0，函数在R上单调递减；(3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．[点评]判断函数单调性的方法有两种：(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函数的单调性；(2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－3a，讨论函数f(x)的单调性．[解析]由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2a.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2a.(1)当a0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)0，所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数；若x∈0，2a，则f′(x)0，所以f(x)在区间0，2a上是减函数．若x∈2a，＋∞，则f′(x)0，所以f(x)在区间2a，＋∞上是增函数．(2)当a0时，若x∈－∞，2a，则f′(x)0，所以f(x)在区间－∞，2a上是减函数．若x∈2a，0，则f′(x)0，所以f(x)在区间2a，0上是增函数．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)0，所以f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.解：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)f′(x)＝x＋bx′＝1－bx2＝1x2(x2－b)令f′(x)＞0，则1x2(x＋b)(x－b)＞0∴x＞b，或x＜－b.∴函数的单调递增区间为(－∞，－b)和(b，＋∞)．令f′(x)＜0，则1x2(x＋b)(x－b)＜0∴－b＜x＜b，且x≠0.∴函数的单调递减区间为(－b，0)和(0，b)．[例2]求函数的单调区间：f(x)＝x＋bx(b＞0)223.()()()(1)例已知函数，求导函数，并确定的单调区间．xbfxfxfxx24332(1)(2)2(1)2222[(1)]()(1)(1)(1)解：xxbxxbxbfxxxx()01112()令，得．当，即时，的变化情况如下表：fxxbbbfx2()(1)(1)()(11)当时，函数递减区间为，，，函数递增区间为，．bfxbfxb223.()()()(1)例已知函数，求导函数，并确定的单调区间．xbfxfxfxx112()当，即时，的变化情况如下表：bbfx2()(1)(1)()(11)当时，函数单调递减区间，，，函数单调递增区间，bfxbfxb2112()1()(1)(1)当，即时，，函数单调递减区间，，，bbfxxfx[点评]求函数单调区间时需注意：1．步骤：法一：法二：2．含有参数的函数求单调区间时注意正确运用分类讨论思想．3．如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．4.导数法求得的单调区间一般用开区间表示.由单调性求参数范围时的注意事项：若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下：以增函数为例来说明：①f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.即f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件.②f′(x)≠0时，f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分必要条件.③f(x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，但反之不一定，即f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件.已知单调性求参数时，特别注意“=”的处理.325ax-xx-例1：求参数的范围若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围325f(x)ax-xx-,解：在(-,+)上单调递增23210f'(x)ax-x在(-,+)上恒成立。04120aa13a2120101fxaxx,,fxxx,a.例2：已知函数（），(]若（）在(]上是增函数，求的取值范围322f'xax解：()∵函数在（0，1]上单调递增f'x()0,31gxx而()在（0，1]上单调递增，1a-gxgmax()(1)=-1所以a的范围是[-1，+）31a-xx即在（0，1]上恒成立43(g'xx()0在（0，1]上恒成立）注：在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证f'x()0(或0)f'x()0(或0)本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx[例3]已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．[分析]由向量的数量积和运算法则求函数f(x)的解析表达式，再f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，求出t的范围．[解析]解法1：f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋tf′(x)＝－3x2＋2x＋t∵函数f(x)在(－1,1)上是增函数，∴f′(x)≥0在x∈(－1,1)上恒成立∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立令g(x)＝3x2－2x，x∈(－1,1)∴g(x)∈(－13，5)故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，只需t≥5，即所求t的取值范围为：t≥5.解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋tf′(x)＝－3x2＋2x＋t∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数，∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，即t≥5时，f′(x)在区间(－1,1)上满足f′(x)＞0使f(x)在(－1,1)上是增函数故t的取值范围是t≥5.[点评]已知函数的单调性，确定字母的取值范围是高考考查的重点内容，解决这类问题的方法主要有两种，其一，转化为函数求最值，其二，若能比较容易求出函数的单调区间时，可利用子区间来解决．特别注意的是，若导函数为二次函数时，也可借助图象，利用数形结合思想来解决，如上例中的解法2.[例4]已知x1，求证：xln(1＋x)．[分析]设f(x)＝x－ln(1＋x)，只需证得f(x)在(1，＋∞)上的函数值恒大于零即可，根据f′(x)＝1－11＋x＝x1＋x0(x1)，得f(x)在(1，＋∞)上是增函数，故当x1时，f(x)f(1)＝1－ln20恒成立，则原式得证．[证明]设f(x)＝x－ln(1＋x)．因为f′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1，x1，所以f′(x)0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数．又f(1)＝1－ln21－lne＝0，即f(1)0，所以f(x)0(x1)，即xln(1＋x)(x1)．[点评]此类题的解题步骤一般是：首先构造函数，然后再采用求导的方法证明．利用函数的单调性证明不等式也是证明不等式常用的方法．已知：x0，求证：xsinx.[证明]设f(x)＝x－sinx(x0)f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数又f(0)＝0，∴f(x)0对x∈(0，＋∞)恒成立即：xsinx(x0)．[例5]f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()[答案]D[解析]由图可知，当bxa时，f′(x)0，故在[a，b]上，f(x)为增函数．且又由图知f′(x)在区间[a，b]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图象是()[答案]D三、解答题已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．[解析](1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，在x∈(－1,1)恒成立．∵－1x1，∴3x23，∴只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．(3)证明：∵f(－1)＝a－2a，∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。102xsinx12f(x)x-sinx,x(,)解：112f'(x)cosxf(x)在（，）上是单调函数，00xfx而当时，（)=01002xsinxx.方程有唯一的根