函数的单调性与曲线的凹凸性

第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第四节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点函数的单调性与曲线的凹凸性第三章第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性（2）若在内,则在上单调减少.(,)ab()0fx()fx[,]ab（1）若在内,则在上单调增加;(,)ab()0fx()fx[,]abxyo)(xfyxyo)(xfyabAB()0fx定理1abBA一、函数单调性的判定法()0fx设函数在上连续,在内可导.()yfx(,)ab[,]ab说明：定理中的闭区间可以换成其它类型的区间.第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性若定理1则在I内单调递增,)0)((xf(递减).证任取由拉格朗日中值定理得0故这说明在I内单调递增.在开区间I内可导,类似地可以证明的情形.()0fx设函数无妨设第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性例11cos0,yx判定函数在上的单调性[0,2]sinyxx因为在内(0,2)解所以函数在上的单调增加.[0,2]sinyxx解讨论函数的单调性.例21xyex.1xey(,0),内在,0y在内(0,),0y:(,).D又∴函数单调减少；∴函数单调增加.第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性1）如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.3）导数等于零的称为驻点（或称稳定点、临界点），驻点可能是单调区间的分界点．说明：4）如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,yOx3xy第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性5）函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．因此函数yxO例332xy说明：在整个定义域内单调增加.此例表明，导数不存在的点也可能是单调区间的分界点.当然导数不存在的点不一定都是单调区间的分界点.第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性3）用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠的子区间；求函数单调区间的步骤:4）考察在这些子区间内的符号，并由定1）确定函数的定义域；2）在定义域内求出使的点与不上述步骤可通过作表辅助完成.存在的点；理1得出单调区间.注意上述这些点中若有某些点两侧的单调性一致，则应将两侧合在一起构成一个单调区间.第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性例4的单调区间.解12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得1,2.xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(21,)1,();,2(12xOy12据此作下表：确定函数故的区间为单调增的区间为).2,1(单调减第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性例5的单调区间.解令,0)(xf得43xx)(xf)(xf(,0)(0,43)(43,2)),2(4(,).3(,0);12331()(2)(43),3fxxxx易得，又为不存在的点.0,2xx()fx据此作下表：确定函数故的区间为4(0,).3单调增的区间为单调减第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性tanxx令则x2tan),0(,02πx从而即tan0,xx例6证π2,(0,).x证明在区间（a,b]上的方法：()()fxgx证明亦即tanxxπ2,(0,).xxx2sec1)(说明：()0.Fa1）设，证明()()()Fxfxgx2）证.()0,(,)Fxxab第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性例7时,成立不等式证,π2sin)(xxxf2sincos)(xxxxxf)tan(cos2xxxx1xtanx0从而因此且例6证明令第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性如何研究曲线的弯曲方向?xyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方二、曲线的凹凸性与拐点问题:第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性yOx2x1x221xx定义在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.设函数设是区间I内的点，如果曲线在经过点时,yOx2x1x221xxyOx拐点曲线的凹凸性改变了,那么就称点拐点.为这曲线的第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y曲线凹凸性的判定理定理2(1)在I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在I内则f(x)在I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性证两式相加22!21)(12xx)]()([21ff,0)(时当xf说明(1)成立;(2))()(1fxf0x)(f)(1x!2)(1f21)(x0x0x0x)()(2fxf0x)(f0x)(2x0x!2)(2f22)(x0x)(2)()(21fxfxf0x),(2)()(21fxfxf0x分别取可得12,xxx20000()()()()()()2!ffxfxfxxxxx利用一阶泰勒公式将在点展开()fx0x1202,xxx记第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性判定曲线在上的凹凸性.例80,0,xxyeye(,)xye因为在内(,)解所以函数在上是凹的.(,)xye解讨论函数的凹凸性.例93yx23,6yxyx(,0),内在0,y在内(0,)0,y:(,).D又∴曲线是凸的；∴曲线是凹的.yOx3xy第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性xyO例10的凹凸性.解,43xy故曲线在上是向上凹的.说明:1)若在某点二阶导数为0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得拐点的判别法如下:若曲线或不存在,但)(xf在两侧异号,0x则点))(,(00xfx是曲线的一个拐点.则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,判断曲线第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性例11的拐点.解,3231xy3592xyxyy0)0,(),0(不存在0因此点(0,0)为曲线的拐点.凹凸此例表明二阶导数不存在的点也可能是凹凸区说明：求曲线间的分界点，即在曲线上的对应点处可能有拐点.第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性3）用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠求函数凹凸区间及拐点的步骤:4）考察在这些子区间内的符号，并由定1）确定函数的定义域；2）在定义域内求出使的点与不上述步骤可通过作表辅助完成.存在的点；的子区间；理2得出凹凸区间.注意上述这些点中若有某些点两侧的凹凸性一致，则应将两侧合在一起构成一个凹凸区间.第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性)(3632xx对应271121,1yy例12的凹凸区间及拐点.,121223xxy2)求拐点可疑点坐标令0y得,,03221xx3)列表判别)0,(),0(32),(320320012711故该曲线在)0,(),(32及上向上凹,向上凸,点(0,1)及),(271132均为拐点.上在),0(32凹凹凸32)1,0(),(271132求曲线yxy解y1)求第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性(,1/5)(1/5,0)(0,)解例131)函数的定义与为.(,)的凹凸区间及拐点.213352,33yxx2)求拐点可疑点坐标令0y得11,5x3)列表判别1/500365250故该曲线在(,1/5)上是凸的,是凹的,而(0,0)不是拐点.(1/5,)在上凸凹凹且为二阶不可导的点.20x对应31265,025yy361525(,5)为拐点,点y下面求求曲线yxy第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性内容小结1.可导函数单调性判别Ixxf,0)(在I上单调递增Ixxf,0)(在I上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别Ixxf,0)(Ixxf,0)(+–拐点—连续曲线上凹凸曲线弧的分界点.第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性思考与练习]1,0[上,0)(xf则,)1(,)0(ff)0()1(ff或)1()0(ff的大小顺序是())0()1()0()1()(ffffA)0()0()1()1()(ffffB)0()1()0()1()(ffffC)0()1()0()1()(ffffD提示:)(0)(xfxf单调增加,)10()()0()1(fff及B1.设在利用第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性.),(21)e1,(21212.2e1xy的凹区间是凸区间是拐点为提示:)21(e222xyx),(2121),(21及;;曲线第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性112xxy有位于一直线的三个拐点.1.证明yy222)1(21xxx3223)1()133(2xxxx32)1()32)(32)(1(2xxxx补充题xxx2)1()1(222)1(x42)1(x)22(x22)1(x)21(2xx)1(22xx2求证曲线第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性令0y得,11x,)1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x,)34831,32()34831,32(3211348311134831112xxy32)1()32)(32)(1(2xxxxy41=第三章微分中值定理与导数的应用高等数学（上）第四节函数的单调性与曲线的凹凸性证明:2π0x当时,有.π2sinxx证明令xxxFπ2sin)(,0)0(F,则)(xFxxFsin)()(xF是凸函数)(xF即xxπ2sin2.0)2π(Fπ2cosx0)2π(),0(minFF0(自证)y)(xF2Ox