函数的单调性典型例题

函数的单调性及典型习题一、函数的单调性1、定义：（1）设函数)(xfy的定义域为A，区间MA，如果取区间M中的任意两个值21,xx,当改变量012xxx时，都有0)()(12xfxfy，那么就称函数)(xfy在区间M上是增函数，如图（1）当改变量012xxx时，都有0)()(12xfxfy，那么就称函数)(xfy在区间M上是减函数，如图（2）注意：单调性定义中的x1、x2有什么特征：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念：1、根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且f(x1)f(x2)能否推出x1x2(x1x2)2、我们来比较一下增函数与减函数定义中yx,的符号规律，你有什么发现没有？3、如果将增函数中的“当012xxx时，都有0)()(12xfxfy”改为当012xxx时，都有0)()(12xfxfy结论是否一样呢？4、定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若0)()(2121xxxfxf即0xy，则函数y=f(x)是增函数，若0)()(2121xxxfxf即0xy，则函数y=f(x)为减函数。判断题：①已知1()fxx因为(1)(2)ff，所以函数()fx是增函数．②若函数()fx满足(2)(3)ff则函数()fx在区间2,3上为增函数．③若函数()fx在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数()fx在区间(1,3)上为增函数．④因为函数1()fxx在区间,0),(0,)上都是减函数，所以1()fxx在(,0)(0,)上是减函数.通过判断题，强调几点：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。④函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数．例1、证明函数xxf1)(在（0，+）是减函数．练习1：证明函数()fxx在0,上是增函数．（2）单调区间如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间．熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性．1．函数y＝－f（x）与函数y＝f（x）的单调性相反．2．当f（x）恒为正或恒为负时，函数y＝)(1xf与y＝f（x）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．3．判断函数单调性的方法（1）定义法．（2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单调性均可直接说出．（3）图象法．例2、设函数f（x）＝21x＋lgxx11,试判断f（x）的单调性，并给出证明．例3、求下列函数的增区间与减区间(1)y＝|x2＋2x－3|(2)y(3)y＝＝xxxxx2221123||例4、函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．例5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与例6、函数f(x)＝|x|和g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是()A.],(],,(10B.),[],,(10C.],(),,[10D.),[),,[10例7、已知a、b是常数且a≠0,f(x)bxax2,且0)2(f,并使方程x)x(f有等根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m、n)nm(,使f(x)的定义域和值域分别为]n,m[和]n2,m[2?同步训练：一、选择题1．下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是A．y＝|x2－1|B．y＝x2C．y＝2x2－x＋1D．y＝|x|＋12．如果奇函数f（x）在区间［3，7］上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间［－7，－3］上是A.增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－53．若函数解析式为y＝f（x），则下列判断正确的是A、若f（x）在（－∞,0）和（0，＋∞）上均是增函数，则f（x）在（－∞,0）∪（0,＋∞）上也是增函数B、若f（x）在（－∞,0）和（0，＋∞）上均是减函数，则f（x）在（－∞，0）∪（0，＋∞）上也是减函数C、若f（x）是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数，则f（x）在（－∞，0）上也是增函数D、若f（x）是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数，则f（x）在（－∞,0）上是增函数二、填空题4．已知函数y＝－x2＋2x＋1在区间［－3，a］上是增函数，则a的取值范围是______________5．设函数y＝f（x）是定义在（－1，1）上的增函数，则函数y＝f（x2－1）的单调递减区间是______________6．若函数y＝ax,y＝－xb在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y＝ax2＋bx在（0,＋∞）上是________（填单调性）．三、解答题7．已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（－x）＝)(1xf＞0，又g（x）＝f（x）＋c（c为常数）在［a,b］（a＜b＝上是单调递减函数，判断并证明g（x）在［－b,－a］上的增减性．课后巩固：1、利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．2、.设)(xf是定义在R上的函数，对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf，且当0x时，1)(0xf。（1）求证：1)0(f；（2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在R上是减函数；（4）若()(2)1fxfx，求x的范围。