曲线坐标系

数学笔记——曲线坐标系1曲线坐标系若空间中的点与有序数组一一对应，则称为空间点的曲线坐标．曲线坐标与直角坐标互为单值函数(1.1.a)(1.1.b)坐标曲面由下列等值曲面定义(1.2)坐标曲面两两相交的交线定义坐标曲线(1.3)若坐标曲线相互正交，则构成正交曲线坐标系．用表示对应正交曲线的切线单位矢量，则空间任意矢量表示为(1.4)空间曲线弧微分为(1.5)用分别表示坐标曲线的弧微分，并使弧长增大方向为坐标增大方向，有(1.6)以下系数称为拉梅系数(1.7)设空间任意一点M的失径为，有(1.8)可知与同向且，所以有(1.9)所以单位坐标矢量与有如下关系其中且转移矩阵为单位正交矩阵．数学笔记——曲线坐标系2在正交曲线坐标系中，弧长、面积、体积元素分别为(1.10.a)(1.10.b)(1.10.c)事实上(1.11)在正交曲线坐标系中取弧长为变量，，则(1.12)所以梯度为，算子表示为(1.13.a)则散度为(1.13.b)Laplace算子为(1.13.c)旋度为(1.13.d)柱面坐标系和球面坐标系是正交曲线坐标系，柱坐标系中，球面坐标系中，带入上式（1.13）可得相应的量．