必修4-第三章-三角恒等变换测试题

第1页共13页第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为()A.14B．－14C.34D．－34解析原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案B2．若sin2α＝14，π4απ2，则cosα－sinα的值是()A.32B．－32C.34D．－34解析(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4απ2，∴cosαsinα，cosα－sinα＝－34＝－32.答案B3．已知180°α270°，且sin(270°＋α)＝45，则tanα2＝()A．3B．2C．－2D．－3第2页共13页答案D4．在△ABC中，∠A＝15°，则3sinA－cos(B＋C)的值为()A.2B.22C.32D.2解析在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，3sinA－cos(B＋C)＝3sinA＋cosA＝2(32sinA＋12cosA)＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝2.答案A5．已知tanθ＝13，则cos2θ＋12sin2θ等于()A．－65B．－45C.45D.65解析原式＝cos2θ＋sinθcosθcos2θ＋sin2θ＝1＋tanθ1＋tan2θ＝65.答案D6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝π2.第3页共13页答案D7．设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则()A．cabB．bcaC．abcD．bac解析a＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b＝2cos213°－1＝cos26°，c＝32＝cos30°，∵y＝cosx在(0,90°)内是减函数，∴cos26°cos28°cos30°，即bac.答案A8．三角形ABC中，若∠C90°，则tanA·tanB与1的大小关系为()A．tanA·tanB1B.tanA·tanB1C．tanA·tanB＝1D．不能确定解析在三角形ABC中，∵∠C90°，∴∠A，∠B分别都为锐角．则有tanA0，tanB0，tanC0.又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－tanA＋tanB1－tanA·tanB0，易知1－tanA·tanB0，即tanA·tanB1.答案B第4页共13页9．函数f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4是()A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数解析f(x)＝sin2x＋π4－sin2x－π4＝cos2π4－x－sin2x－π4＝cos2x－π4－sin2x－π4＝cos2x－π2＝sin2x.答案A10．y＝cosx(cosx＋sinx)的值域是()A．[－2,2]B.1＋22，2C.1－22，1＋22D.－12，32解析y＝cos2x＋cosxsinx＝1＋cos2x2＋12sin2x＝12＋2222sin2x＋22cos2x＝12＋22sin(2x＋π4)．∵x∈R，∴当sin2x＋π4＝1时，y有最大值1＋22；第5页共13页当sin2x＋π4＝－1时，y有最小值1－22.∴值域为1－22，1＋22.答案C11.2cos10°－sin20°sin70°的值是()A.12B.32C.3D.2解析原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.答案C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cosα的值为()A.5665B.1665C.5665或1665D．以上都不对解析∵0α＋βπ，cos(α＋β)＝12130，∴0α＋βπ2，sin(α＋β)＝513.∵02α＋βπ，cos(2α＋β)＝350，第6页共13页∴02α＋βπ2，sin(2α＋β)＝45.∴cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.答案A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.解析∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．∵β为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，∴tanα＝1.答案114．已知cos2α＝13，则sin4α＋cos4α＝________.解析∵cos2α＝13，∴sin22α＝89.∴sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－12sin22α＝1－12×89＝59.答案5915.sinα＋30°＋cosα＋60°2cosα＝________.解析∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinαcos30°＋cosαsin30°＋第7页共13页cosαcos60°－sinαsin60°＝cosα，∴原式＝cosα2cosα＝12.答案1216．关于函数f(x)＝cos(2x－π3)＋cos(2x＋π6)，则下列命题：①y＝f(x)的最大值为2；②y＝f(x)最小正周期是π；③y＝f(x)在区间π24，13π24上是减函数；④将函数y＝2cos2x的图象向右平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确命题的序号是________．解析f(x)＝cos2x－π3＋cos2x＋π6＝cos2x－π3＋sinπ2－2x＋π6＝cos2x－π3－sin2x－π3＝2·22cos2x－π3－22sin2x－π3＝2cos2x－π3＋π4＝2cos2x－π12，∴y＝f(x)的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x∈π24，13π24时，2x－π12∈[0，π]，∴y＝f(x)在π24，13π24上是减函数，故③正确．第8页共13页由④得y＝2cos2x－π24＝2cos2x－π12，故④正确．答案①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量m＝cosα－23，－1，n＝(sinx,1)，m与n为共线向量，且α∈－π2，0.(1)求sinα＋cosα的值；(2)求sin2αsinα－cosα的值．解(1)∵m与n为共线向量，∴cosα－23×1－(－1)×sinα＝0，即sinα＋cosα＝23.(2)∵1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sinα－cosα)2＝1－sin2α＝169.又∵α∈－π2，0，∴sinα－cosα0.∴sinα－cosα＝－43.∴sin2αsinα－cosα＝712.第9页共13页18．(12分)求证：2－2sinα＋3π4cosα＋π4cos4α－sin4α＝1＋tanα1－tanα.证明左边＝2－2sinα＋π4＋π2cosα＋π4cos2α＋sin2αcos2α－sin2α＝2－2cos2α＋π4cos2α－sin2α＝1－cos2α＋π2cos2α－sin2α＝1＋sin2αcos2α－sin2α＝sinα＋cosα2cos2α－sin2α＝cosα＋sinαcosα－sinα＝1＋tanα1－tanα.∴原等式成立．19．(12分)已知cosx－π4＝210，x∈π2，3π4.(1)求sinx的值；(2)求sin2x＋π3的值．解(1)解法1：∵x∈π2，3π4，∴x－π4∈π4，π2，于是sinx－π4＝1－cos2x－π4＝7210.sinx＝sinx－π4＋π4＝sinx－π4cosπ4＋cosx－π4sinπ4第10页共13页＝7210×22＋210×22＝45.解法2：由题设得22cosx＋22sinx＝210，即cosx＋sinx＝15.又sin2x＋cos2x＝1，从而25sin2x－5sinx－12＝0，解得sinx＝45，或sinx＝－35，因为x∈π2，3π4，所以sinx＝45.(2)∵x∈π2，3π4，故cosx＝－1－sin2x＝－1－452＝－35.sin2x＝2sinxcosx＝－2425.cos2x＝2cos2x－1＝－725.∴sin2x＋π3＝sin2xcosπ3＋cos2xsinπ3＝－24＋7350.20．(12分)已知向量a＝cos3x2，sin3x2，b＝cosx2，－sinx2，c＝第11页共13页(3，－1)，其中x∈R.(1)当a⊥b时，求x值的集合；(2)求|a－c|的最大值．解(1)由a⊥b得a·b＝0，即cos3x2cosx2－sin3x2sinx2＝0，则cos2x＝0，得x＝kπ2＋π4(k∈Z)，∴x值的集合是xx＝kπ2＋π4，k∈Z.(2)|a－c|2＝cos3x2－32＋sin3x2＋12＝cos23x2－23cos3x2＋3＋sin23x2＋2sin3x2＋1＝5＋2sin3x2－23cos3x2＝5＋4sin3x2－π3，则|a－c|2的最大值为9.∴|a－c|的最大值为3.21．(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1cm，求割出的长方形桌面的最大面积(如图)．解第12页共13页连接OC，设∠COB＝θ，则0°θ45°，OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－12(1－cos2θ)＋12sin2θ＝12(sin2θ＋cos2θ)－12＝22cos2θ－π4－12.当2θ－π4＝0，即θ＝π8时，Smax＝2－12(m2)．∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m2.22．(12分)已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，π16上的最小值．解(1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx.第13页共13页所以f(x)＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝22sin2ωx＋π4＋12.由于ω0，依题意得2π2ω＝π.所以ω＝1.(2