1.3.2杨辉三角与二项式定理

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项定理:一、新课引入二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？1．“杨辉三角”的来历及规律杨辉三角展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：nba)(111211331146411510105116152015611)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba第5行1551第0行1杨辉三角第1行11第2行121第3行1331第4行141第6行161561第n-1行111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nC1nnC………………………………1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+340)(ba1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(banba)(rnrnrnCCC111rnC二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n二项式系数的性质2．二项式系数的性质（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr二项式系数的性质（2）增减性与最大值二项式系数前半部分是逐渐增大的，后半部分是逐渐减小的，中间项取得最大值。因此，当n为偶数时，中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和二项式系数的性质在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210启示：在二项式定理中a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．nnnnnn2CCCC210思考:证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：021312nnnnnCCCC证明：在展开式中令a=1，b=－1得011nnnnnnnCaCabCb0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC02130nnnnCCCC即0213nnnnCCCC小结：赋值法在二项式定理中，常对a,b赋予一些特定的值1，-1等来整体得到所求。726701267(12)xaaxaxaxax已知7)21()(:xxf设解721071)121()1(aaaaf例题：0)1(a求：7321...)2(aaaa0x（1）令0(0)1af1x（2）令211)0()1()(...0710721ffaaaaaaa7531)3(aaaa7)21()(:xxf设解7210)1()3(aaaaf73210)1(aaaaaf)1()1()(27531ffaaaa2312)1()1(77531ffaaaa)1()1()(2)4(6420ffaaaa6420)4(aaaa726701267(12)xaaxaxaxax已知例题：求：小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值，然后解方程组整体求解73217...)21(aaaax展开式中求思考：726701267(12)xaaxaxaxax已知思考:求证：012123122nnnnnnCCCnCn1.(1﹣x)13的展开式中系数最小的项是()(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项C练习：证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn倒序相加法思考.在(3x+2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项;(2)系数最大的项;解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC即3(r+1)2(20-r)2(21-r)3r所以系数最大的项为：227855r812812892032TCxyr=8例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。(12)nx典型例题课堂练习：1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；591515,CaCb1016C9()ab()nab二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。小结作业：•1、课本37页第8题（书上）•2、练习册26—27页