武汉大学经济与管理学院-线代试题2007-2008C(文54A卷)[1]

1武汉大学数学与统计学院2007－2008第一学期《线性代数C》（A卷，文54）学院专业学号姓名注：所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。一、（10分）记1231234134512122221nnnnnDnnnnnnn，求123()nDDDn。二、（12分）计算向量组112312，221223，350754，431531的秩，并求出该向量组的一个极大无关组，同时将其余向量表示成极大无关组的线性组合。三、（16分）设132254211,422121141AB，（1）求22422ABBAAB；（2）求*A，这里*A是A的伴随阵。四、（16分）已知112120110,102101ABabc，（1）问,,abc为何值时，(,)()RABRA？（2）求矩阵方程XAB的全部解。五、（18分）设齐次线性方程组1231231232202030xxxxxxxxx的系数阵为A，若3阶非零阵B满足ABO，（1）求A的值；（2）求；（3）求B的值。六、（20分）设二次型123121323(,,)222fxxxxxxxxx,(1).写出二次型f的矩阵A；(2).求A的全部特征值与特征向量；(3).把二次型f化为标准形；(4).判定二次型f是否正定。七、（8分）设A为mn矩阵，X为n维实向量，证明：方程组AAXO与AOX同解。2武汉大学数学与统计学院2007－2008第一学期《线性代数C》（文54，A卷答案）一、解：1211DD＝，＝－，123111111031111111111()nnnDn＝，则1203()nDDDn＝。二、解：设123412532101(,,,)327512532341A，先对A施行行初等变换化为行最简形矩阵10110121000000000000A，知向量组的秩1234(,,,)()2RRA，易知1、2两列即12,为1234,,,的一个极大无关组。且有3122，412.三、解：（1）2222422(42)(2)(2)2(2)ABBAABABAABBABAABB(2)(2)ABAB0110418000844000442460.10338152511（2）0*A。四、解：AXB有解，须()()RARAB,对矩阵()AB作初等行变换：112120()110102101ABabc112120011011000111abc由此看出()2,RA欲()2RAB须1,1,1abc.所以当1,1,1abc时AXB有解。当1abc时，将上面最后一个矩阵进一步化为行简化阵112120101111()011011011011000000000000AB3由101101100000得11121113111xkxkkxk（为任意常数）由101101110000得1222232211xkxkkxk22（为任意常数）由101101110000得1333333311xkxkkxk23（为任意常数）故所求矩阵方程的通解为12312312311111kkkXkkkkkk（23,,kkk为任意常数）．五、解：（1）由ABO知，矩阵B的各个列向量均为齐次线性方程组XoA的解向量，而BO，所以B至少有一个列向量为非零向量，从而XoA有非零解，故0A，（2）因为1221201221211(1)5(1)31311310A，所以1.（3）由,AB均为3阶方阵，且ABO，得BAO，所以A的各列均为XoB的解，而A为非零矩阵，所以XoB有非零解，从而知0BB.（或可由ABO判断0B。事实上若0B，则B可逆。于是由11ABBOB得AO，显然不对，故可知0B.）六、解：（1）011101110A；（2）由11()11(1)(2)0,11f得1231,2，对121,解线性方程组12123311110,11xxoxxxx111基础解系为：12(1,0,1),(1,1,0)，其全部特征向量为112212(,kkkk不全为零）；对32，解线性方程组123211121112xxox1231232020xxxxxx，基础解系为：3(1,1,1)，其全部特征向量为333(0)kk；4（3）正交规范化得：12(1,0,1),(1,2,1)1126；3(1,1,1)13，则所求正交变换阵0P1-11263-2-16311-1263，变换之下的标准形为：2221232fyyy；（4）二次型f不正定。七、证明：显然Axo的解均是xoAA的解。下面证xoAA的解也为xoA的解。事实上，设0x为xoAA的任一解，即0xoAA，两端左乘0x得00xx0AA，即00()()xxoAA，向量0xA的长度的平方为零，所以0xoA，于是0x为x=oA的解。由0x的任意性知xoAA的解均是xoA的解。故齐次线性方程组xoAA与xoA同解。