搜索
第四部分数列专题10等差数列、等比数列-3-能力目标解读热点考题诠释高考中对等差(等比)数列的考查在主、客观题型上均有所体现.一般以等比、等差数列的定义、通项公式、前n项和公式为基础考点,有时结合数列的递推公式进行命题,最终化归为等差或等比数列来研究.高考中对本部分考查的热点主要有三个方面:(1)对于等差、等比数列基本量的考查,一般利用数列的通项公式、前n项和公式建立方程组求解;(2)对于等差、等比数列性质的考查,主要强调“新、巧、活”的特点;(3)对于等差、等比数列的判断与证明,主要出现在解答题中,主要考查等差、等比数列的定义应用,有时需要对已知条件进行适当变换,同时证明出来的结论对后续问题往往具有铺垫的作用.-4-能力目标解读热点考题诠释12341.(2014重庆高考,文2)在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14命题定位:本题考查了等差数列的性质,试题难度较小.答案解析解析关闭由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.故选B.答案解析关闭B-5-能力目标解读热点考题诠释12342.(2014课标全国Ⅱ高考,文16)数列{an}满足an+1=11-𝑎𝑛,a11=2,则a1=.命题定位:本题主要考查数列的递推公式,并通过对递推公式的研究得出数列中蕴含的规律性.本题突出考查运算求解能力和创新意识.答案解析解析关闭由a11=2及an+1=11-𝑎𝑛,得a10=12.同理a9=-1,a8=2,a7=12,…所以数列{an}是周期为3的数列.所以a1=a10=12.答案解析关闭12-6-能力目标解读热点考题诠释12343.(2014福建高考,文17)在等比数列{an}中,a2=3,a5=81.(1)求an;(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.命题定位:本题主要考查等比数列的通项公式、等差数列的求和公式,通过本题使大家加强对基本量法的深刻认识.答案答案关闭解:(1)设{an}的公比为q,依题意,得𝑎1q=3,𝑎1𝑞4=81,解得𝑎1=1,𝑞=3.因此,an=3n-1.(2)因为bn=log3an=n-1,所以数列{bn}的前n项和Sn=𝑛(𝑏1+𝑏𝑛)2=𝑛2-n2.-7-能力目标解读热点考题诠释12344.(2014大纲全国高考,文17)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;(2)求{an}的通项公式.命题定位:本题主要考查递推公式和等差数列的定义,也考查了累加法在求通项公式中的应用,本题对推导论证能力要求较高,同时整个解答过程突出了运算求解能力.答案答案关闭(1)证明:由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解:由(1)得bn=1+2(n-1),即an+1-an=2n-1.于是∑𝑘=1𝑛(ak+1-ak)=∑𝑘=1𝑛(2k-1),所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2.-8-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三等差、等比数列的基本运算思考:对于等差(等比)数列中的五个基本量a1,an,Sn,n,d(q),你知道其内在联系吗?提示:(1)要明确“知三求二”问题,即已知五个基本量的其中三个就可以求出其他两个;(2)要善于利用方程(组)的思想解决问题,即灵活地选取基本量,将题目中的已知或未知都向基本量靠拢;(3)解决等差数列{an}前n项和问题常有三个公式Sn=𝑛2(a1+an),Sn=na1+𝑛2(n-1)d,Sn=An2+Bn,要注意灵活选用;(4)对于等比数列,不要忽视对q是否为1的讨论.-9-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三【例1】数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.分析推理对于等差或等比数列中的基本运算,一般将已知条件朝着a1和d或a1和q靠拢.体现出最基本量法的基础作用.答案解析解析关闭设数列{an}的公差为d,则a1=a3-2d,a5=a3+2d,由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a3-2d+1)·(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,∴d=-1,则a1+1=a3+3,故q=1.答案解析关闭1-10-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三点评:本题一定要分析清楚数列的主体是什么,还要注意公比的求出要借助于核心条件先得出公差的关系才行,这也体现了选取合理切入点的重要性.-11-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三1.设公比为q(q0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=.答案解析解析关闭将S2=3a2+2,S4=3a4+2两个式子全部转化成用a1,q表示的式子.即𝑎1+𝑎1q=3𝑎1q+2,𝑎1+𝑎1q+𝑎1𝑞2+𝑎1𝑞3=3𝑎1𝑞3+2,两式作差得:a1q2+a1q3=3a1q(q2-1),即2q2-q-3=0,解之得q=32或q=-1(舍去).答案解析关闭32-12-能力突破点一能力突破点二能力突破方略能力突破模型能力迁移训练能力突破点三等差、等比数列的基本性质思考:等差、等比数列有哪些主要性质?提示:类型等差数列等比数列项的性质2ak=am+al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差数列)𝑎𝑘2=am·al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差数列)am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q)am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*且m+n=p+q)和的性质当n为奇数时:Sn=n𝑎𝑛+12当n为偶数时:𝑆偶𝑆奇=q(公比)依次每k项的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成等差数列依次每k项的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…构成等比数列(k不为偶数且公比q≠-1)-13-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练【例2】(2014山东淄博一模)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=()A.10B.18C.20D.28分析推理当给出等差数列中已知两项的和求另外几项和的时候,优先观察条件和所求式子中项的角标的规律,一般转化为利用等差数列的性质来解决.答案解析解析关闭因为a3+a8=10,所以由等差数列的性质,得a5+a6=10,所以3a5+a7=2a5+a5+a7=2a5+2a6=2(a5+a6)=20.答案解析关闭C-14-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练【例3】等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.分析推理当给出等比数列中已知两项的积,求另外几项积的时候,要优先观察条件和所求式子中角标的规律,一般利用等比数列的性质来解决.答案解析解析关闭由等比数列性质知a1a5=a2a4=𝑎32=4.∵an0,∴a3=2.∴a1a2a3a4a5=(a1a5)·(a2a4)·a3=25.∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log225=5.答案解析关闭5-15-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58B.88C.143D.176答案解析解析关闭在等差数列中,∵a1+a11=a4+a8=16,∴S11=11×(𝑎1+𝑎11)2=88,故选B.答案解析关闭B-16-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练3.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x),如果对于任意给定的等比数列{an},{f(an)}仍是等比数列,则称f(x)为“保等比数列函数”.现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)=|𝑥|;④f(x)=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A.①②B.③④C.①③D.②④答案解析解析关闭等比数列性质,anan+2=𝑎𝑛+12,①f(an)f(an+2)=𝑎𝑛2𝑎𝑛+22=(𝑎𝑛+12)2=f2(an+1);②f(an)f(an+2)=2𝑎𝑛2𝑎𝑛+2=2𝑎𝑛+𝑎𝑛+2≠22𝑎𝑛+1=f2(an+1);③f(an)f(an+2)=|𝑎𝑛𝑎𝑛+2|=|𝑎𝑛+1|2=f2(an+1);④f(an)f(an+2)=ln|an|ln|an+2|≠(ln|an+1|)2=f2(an+1).选C.答案解析关闭C-17-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练等差、等比数列的判定与证明思考1:如何判断或证明数列为等差数列?提示:(1)定义法:an+1-an=d(d为常数)⇔{an}为等差数列;(2)等差中项法:2an=an-1+an+1(n≥2,且n∈N+)⇔{an}为等差数列;(3)通项公式法:若an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d或an=kn+b(n∈N+),则{an}为等差数列.-18-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练思考2:如何判断或证明数列为等比数列?提示:(1)定义法:𝑎𝑛+1𝑎𝑛=q(q为非零常数)⇔{an}为等比数列;(2)等比中项法:𝑎𝑛2=an-1·an+1(an≠0,n≥2,n∈N+)⇔{an}为等比数列;(3)通项公式法:若an=a1qn-1=amqn-m或an=p·qkn+b(n∈N+),则{an}为等比数列.-19-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练【例4】数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项的和Sn满足𝑆𝑛2=an(Sn-1).(1)求证:数列1𝑆𝑛是等差数列;(2)设bn=log2𝑆𝑛𝑆𝑛+2,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足Tn≥6的最小正整数n.分析推理(1)对于递推关系中含有Sn与an的关系时,一般要利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N+)进行转化,然后朝着1𝑆𝑛与1𝑆𝑛-1的关系靠拢;(2)涉及求和问题中的解不等式或证明不等式,均先考虑明确数列bn的类型,然后选用合适的求和公式进行求和.答案答案关闭(1)证明:∵𝑆𝑛2=an(Sn-1),∴𝑆𝑛2=(Sn-Sn-1)(Sn-1)(n≥2).∴SnSn-1=Sn-1-Sn,即1𝑆𝑛−1𝑆𝑛-1=1.又a1=1,∴1𝑆1=1𝑎1=1.∴1𝑆𝑛是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)知Sn=1𝑛,∴bn=log2𝑛+2𝑛.∴Tn=log231×42×53×64×…×𝑛+2𝑛=log2(𝑛+1)(𝑛+2)2≥6.∴(n+1)(n+2)≥128.∵n∈N*,∴n≥10.∴满足Tn≥6的最小正整数为10.-20-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练点评:该题第(1)问解决时要注意对条件的化简变形要结合目标,做到有的放矢;第(2)问中解不等式时要注意暗含条件n∈N+.-21-能力突破点一能力突破点二能力突破点三能力突破方略能力突破模型能力迁移训练4.设数列{an}的前n项和为Sn,其中an≠0,a1为常数,且-a1,Sn,an+1成等差数列.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=1-