数学分析—极限练习题及详细答案

一、选择题1.若0()lim1sinxxx，则当x0时，函数(x)与（）是等价无穷小。A.sin||xB.ln(1)xC.1-cos||xD.12x11.【答案】D。2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim1tansinxfxxx则'''f(0)（）A.5B.3C.1D.02.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tansin2cossinsincoscosxxxfxfxfxxxxxxxx42200''()''()limlim16cossin2coscos21xxfxfxxxxx可得'''f(0)33.当x0时，与1x133为同阶无穷小的是（）A.3xB.34xC.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312333323000311(1)111133limlimlim(1)3313xxxxxxxxx选A。4.函数2sinf()lim1(2)nnxxx的间断点有（）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x时，分母时()0fx，故20.5sin12lim1(2(0.5))2nx，20.5sin12lim1(20.5)2nx，故，有两个跳跃间断点，选C。5.已知()bxxfxae在（-∞，+∞）内连续，且lim()0xfx，则常数a，b应满足的充要条件是（）A.a0，b0B.a≤0，b0C.a≤0，b0D.a0，b05.【答案】B。解析：0lim()lim0,0bbxbxxxaebxfxaaebe。6.关于曲线21yxxx的渐近线，下列说法正确的是（）A.只有水平渐近线，没有斜渐近线B.既没有水平渐近线，也没有斜渐近线C.只有斜渐近线，没有水平渐近线D.既有水平渐近线，又有斜渐近线6.【答案】C。解析：由题意可知，无水平渐近线；2222()1limlim2,lim[()]lim[12]111lim[1]lim,2221xxxxxxfxxxxabfxaxxxxxxxxxxxyxxxx。7.若f(x)在x=a处为二阶可导函数，则'20()()()limhfahfahfah=()A.f(a)/2B.f(a)C.2f(a)D.-f(a)7.【答案】A。解析：'''''200()()()()()()limlim22hhfahfahfafahfafahh。8.设()232xxfx，则当x趋近于0时，有（）A.f（x）是x的等价无穷小B.f（x）与x同阶但非等价无穷小C.f（x）是比x高阶的无穷小D.f（x）是比x高阶的无穷小8.【答案】B。解析：0232()232,limln2ln3xxxxxfxx，所以()232xxfx与x是同阶但非等价的无穷小。9.22223nnnan，则limnna的值为（）A.2B.3C.4D.59.【答案】A。解析：2222414limlimlim2322nnnnnnnn。10.已知函数237()23xfxxx的间断点（）A.X=7B.X=-73C.X=-1或X=3D.X=1或X=-310.【答案】C。解析：237()23xfxxx，2230,3,1xxx，所以3，-1是函数的间断点。11.设当x(0,)时1f()sinxxx则在（0，+∞）内（）A.f()x与'f()x都无界B.f()x有界，'f()x无界C.f()x与'f()x都有界D.f()x无界，'f()x有界11.【答案】B.解析001lim()limsin0xxfxxx，01lim()limsin0xxfxxx故f(x)有界，111'()sincosfxxxx，0lim'()xfx，无界，选B.12.在区间[0.1]上，函数nf()(1)xnxx的最大值记为M（n）,则lim()nMn的值为（）A.1eB.eC.2eD.3e12.【答案】A.解析.211'()(1)(1)(1)(1)nnnfxnxxnxnxxnx所以f(x)的驻点有两个,分别是x=1和11xn,且11xn是极大值点又因为是闭区间[0,1],所以11xn也是最大值点，所以(1)(1)11()()()(1)111nnnMnfnnn所以当n→∞时.(1)(1)11lim()lim()lim(1)11nnnnnnMnnne所以极限为1/e。选A。13.()A.B.0C.1D.13.【答案】D。解析：由，故选D。14.计算：（）.A.B.C.D.14.【答案】B2+1lim[123...]xnn1222+1112lim[123...]lim2xxnnnnn332321lim752xxxxx1237322515.已知=2，其中a.b,则a-b的值为（）A.6B.-6C.2D.-215.【答案】C.解析：由=2可得,所以16.设f(x)=sinx/x，则x=0是函数f(x)的（）A．连续点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.可去间断点16.【答案】D。解析：，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。17.设，则x=0是函数f(x)的（）.A.可去间断点B.无穷间断点C.连续点D.跳跃间断点17．【答案】D18.设函数f(x)在x=0处连续，且220)(limnnfn=2，则（）A.f(0)=1且fˊ(0)=2B.f(0)=0且fˊ(0)=2C.f(0)=1且fˊ(0)=2D.f(0)=0且fˊ(0)=218.【答案】B．【解析】2'2'200()2()limlim(0)2,(0)02nnfnnfnffnn，答案选B。19.设函数f（x）=x2+t，且2lim()1xfx，则t=（）A.-3B.-1C.1D.319.【答案】A．【解析】2lim()1,(2)1,(2)41,3xfxfftt。20.计算极限：0limx(l+2x)x1，正确的结果为()。A．0B.1C.eD.e220.【答案】D.解析：22210])21[(limexxx.故选择D.21．x=O为函数f(x)=sinx.sinx1的（）A.可去间断点B．跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点baxxxx12lim2R22222limlim11xxxxaxaxbxbaxbxx2,2aab0,2.bab0sinlim1xxxQ110()00xxfxxx21.【答案】A.解析：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即01sinsinlim0xxx.但是x=0是函数没有定义.因此x=0为函数f(x)=sinx.sinx1的可去间断点.22.设函数f（x）=1x21-easinx0x0x在x=0处连续，则常数a的值为()。A.1B.2C.3D.422.【答案】B.解析：由题设可知1x21-elimasinx0x.当0x时，有0sinxa，则12sinsin1limsin0xxaxaexax，即满足12a，所以2a.故选择B.23.已知f（x）=12sinxeotdt，g（x）=33x+44x，则当x→0时，f（x）是g（x）的（）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小23.【答案】C。解析：000'lim0,limlim'xxxfxfxfxgxgxQ，2'sin1xxfxee，22232300sin1limlim1xxxxxeexexxxx，()fx是g(x)的等价无穷小。24.如果222lim2xxaxbxx=2，则ab的值为（）A．2B．-4C．8D．-1624.【答案】D。解析：222lim2xxaxbxx=22lim(2)(1)xxaxbxx因为x趋向于2，所以要消去x-2，即2xaxb可分解为(2)()xxc的格式即22lim(2)(1)xxaxbxx=2lim21xxcx，所以c=4，所以2(2)(4)28xxxx，所以a=2，b=-8，所以ab=-16。25．设f(x)在x=0的某个邻域内连续，f(0)=0，02()lim12sin2xfxx，则f(x)在x=0处（）A．可导B．可导且f(0)0C．取得极大值D．取得极小值25.【答案】D。解析：()fx在x=0的某个邻域内连续，所以'()fx存在，由''''00002()()()()limlimlim1lim11sincos2sin4sincos2222xxxxfxfxfxfxxxxxx得'''0lim()0()=10xfxfx且，所以x=0为极小值。27、关于曲线y=1x的渐近线的正确结论是（）A.没有水平渐近线，也没有斜渐近线B.x=0为其垂直渐近线，但无水平渐近线C.既有垂直渐近线，又有水平渐近线D.只有水平渐近线27.【答案】C.28.下列说法正确的是（）A.若f(x)在x=x0连续，则f(x)在x=x0可导B.若f(x)在x=x0不可导，则f(x)在x=x0不连续C.若f(x)在x=x0不可微，则f(x)在x=x0极限不存在D.若f(x)在x=x0不连续，则f(x)在x=x0不可导28.【答案】D.解析：例如函数f(x)=∣x∣在x=0处连续，但不可导，所以排除A、B、C；函数若f(x)在x=x0可导，则f(x)在x=x0连续，根据逆否命题与其等价，可知D正确。29.当x→0时，（）是无穷小。A．sinxxB.2xC.1xxD.1cosx29.【答案】D.解析：当0x时，1cos0x，所以当0x时，1cosx是无穷小。30.极限01limsinxxx=（）A.0B.1C.2D.-130.【答案】A.解析：01limsin0xxx。31.下列变量中，无穷小量的是（）A.ln1x（x→0+）B.lnx(x→1)C.cosx(x→0)D.224xx31.【答案】B.解析：01limlnxx所以A错误；1limln0xxB正确；0limcos1xxC错误；222lim14xxx故D错误.32.曲线1||yx的渐近线情况是（）。A.只有水平渐近线B.只有垂直渐近线C.既有水平渐近线又有垂直渐近线D.既无水平渐近线又无垂直渐近线32.【答案】C.解析：方法一：画出函数图像可知。方法二：1lim0xx，01limxx，所以既有水平渐近线，又有垂直渐近线。33.设112xxy，则1x为y的（）A.连续点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.可去间断点33.【答案】D。解析：211lim21xxx，在1x处左右极限存在，但是没有定义，所以是可去间断点。二、填空题1.计算4400sintancosxxdxdxx_____.1.【答案】1ln22。中公教育解析：根据凑微分法：44440000sin11tancoslncosln2coscos2xxdxdxdxxxx。2..+=2lim1-1xxx2.【答案】4.解析：3.极限=________.3.【答案】.解析：.4.________.4.【答案】2。解析：5.=________.5.【答案】3.解析：31limln(3)3lim3nnnnnnnne