误差理论与测量平差基础(武汉大学)

误差理论与测量平差基础武汉大学姚宜斌μσμσ43210123450.10.20.30.4前言每一位同学拿到《误差理论与测量平差基础》一书时，脑子里马上就有许多问题涌现：这是一门什么样的课程？学习这门课有什么用处呢？我应该怎样去学好它？……故在讲课之前，简单地向大家介绍一下本课程的基本情况。测量平差是测绘专业一门重要的技术基础课，主要讲授测量数据处理的基本理论和方法，是理论与实践并重的课程。通过学习测量平差，牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。前言一、教学内容全书共有十二章：第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第十章以及第十二章(部分)的内容。前言二、怎样学好测量平差1.要有扎实的数学基础。只有牢固地掌握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行复习，只有这样才能听懂这一门课。2.听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。3.课后及时复习并完成一定数量的习题,从而巩固课堂所学的理论知识。第一讲绪论一、本课程在测绘科学与技术中的作用与地位二、测量误差与测量平差(SurveyingAdjustment)™误差与测量误差™测量误差的来源™测量误差的分类™测量误差与多余观测带来的问题™测量平差的诞生三、测量平差的目的和任务四、本课程的体系结构™误差理论™平差方法测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。误差与测量误差：所谓测量误差，就是对某量进行测量时，其测量结果（即观测值）与该量客观存在的真正大小或理论上应满足的数值（通称真值，从概率与数理统计的观点看，就是观测值的数学期望）之间的差异，即：观测误差＝真值－观测值以Δ表示观测误差，表示真值，L表示观测值，则上式可写为通常称Δ为观测值的真误差。L~LL−=Δ~第一讲绪论（续）测量误差的来源：1.测量仪器2.观测者3.外界条件上述仪器，观测者，外界条件是观测误差的主要来源，我们通常把它们综合起来称为观测条件。测不准原理：所有测量都具有观测误差，观测误差自始自终存在于测量过程之中。第一讲绪论（续）测量误差的分类：1.偶然误差：指在相同的观测条件下作一系列的观测时，从单个误差看，该列误差的大小和符号表现出偶然性，无规律，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，也称随机误差。处理方法：采用多余观测，利用测量平差的方法求出观测值的昀或然值。第一讲绪论（续）2.系统误差：指在相同的观测条件下作一系列的观测时，大小和符号表现出系统性，或按一定规律变化，或者为某一常数的误差。处理方法：1)在观测方法和观测程序上采取必要的措施，限制或削弱系统误差的影响；2）在平差计算前进行必要的预处理，即利用已有公式对观测值进行系统误差改正；3）将系统误差当作未知参数纳入平差函数模型中，一并解算。第一讲绪论（续）3.粗差：明显歪曲测量结果的误差,是指比在正常观测条件下所可能出现的昀大误差还要大的误差。处理方法：舍弃或重测。第一讲绪论（续）测量平差研究的主要对象是偶然误差，即总是假定含粗差的观测值已被剔除，含系统误差的观测值已经过适当改正。因此，在观测误差中，仅含偶然误差或是偶然误差占主导地位。第一讲绪论（续）问：对某量只作一次观测，该观测值是否不含误差？测量误差与多余观测带来的问题：由于观测结果不可避免地存在偶然误差的影响，因此，在实际工作中，为了提高成果的质量，同时也为了检查和及时发现观测值中有无错误存在，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就是要进行多余观测。由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生不符值。因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，使得消除不符值后的结果，可以认为是观测量的昀可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求出观测量的昀可靠结果，这就是测量平差的一个主要任务。第一讲绪论（续）测量平差的诞生：1）观测值中含有偶然误差；2）消除由于多余观测而产生的观测值之间的矛盾的需要。多余观测的目的：1）及时发现粗差和错误；2）提高观测成果的精度。第一讲绪论（续）测量平差的目的和任务：1）求待定量的昀佳估值;即对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的昀可靠值。2）评定测量成果的精度。测量平差是测绘专业的专业基础课之一。它是应用概率和数理统计方法来分析观测数据，为观测数据的处理提供理论基础；以昀小二乘法作为处理观测数据的基本原则，讲解测量平差的基本原理、方法和技能；论述近代测量平差的基本理论与方法，介绍测量数据处理的昀新研究成果。第一讲绪论（续）四、本课程的体系结构™误差理论：偶然误差特性和偶然误差的传播；精度指标及其估计；权与中误差的定义及其估计方法。™平差方法：条件平差，附有参数的条件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。本章主要说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容以及本课程的任务。第二讲偶然误差一、偶然误差的规律性真误差：观测值与其真值之差，即。基本假设：系统误差已消除，粗差不存在。寻找偶然误差之规律性的方法：统计分析1、统计表2、直方图iiiLL−=Δ~误差分布具有以下性质：1）误差的绝对值有一定的限值；2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多；3）绝对值相等的正负误差的个数相近。直方图的优点：能形象地表示出误差的分布情况；缺点：1）粗糙；2）间隔不好选取；3）比较相近的两个误差分属于不同区间。（例0.2和0.21）图1iΔΔdnvi从表中可以看出：1）愈接近于零的误差区间，误差出现的频率愈大；2）随着离零愈来愈远，误差出现频率亦逐渐递减；3)出现在正负误差区间内的频率基本相等。图2iΔΔdnvi第二讲偶然误差（续）由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的理论平均值为零，即01lim0)(1=Δ=Δ∑=∞→niinnE或0）＝（限ΔΔP））（大小ΔΔ(PP第二讲偶然误差（续）二、正态分布当偶然误差的个数时，偶然误差出现的频率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直方图（图1、图2）将分别变为图3所示的两条光滑的曲线。图3∞→n误差分布曲线第二讲偶然误差（续）由概率论知，该曲线是正态分布的概率分布曲线。所以测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为：式中：和为参数。+∞Δ∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Δ−=Δ,)(21exp21)(22μσπσfμσ第二讲偶然误差（续）由密度函数知，偶然误差为正态随机变量。所以又称偶然误差为随机误差。下面来看参数和是什么。对正态随机变量求数学期望：+∞Δ∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Δ−=Δ,)(21exp21)(22μσπσfΔμσΔ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Δ−Δ=ΔΔΔ=Δ∫∫∞+∞−∞+∞−22)(21exp21)()(μσπσdfE第二讲偶然误差（续）作变量代换，令得因σμ−Δ=tdttdtttdtttE∫∫∫∞+∞−∞+∞−∞+∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=Δ22221exp221exp221exp)(21)(πμπσμσππ221exp,021exp22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∫∫∞+∞−∞+∞−dttdttt第二讲偶然误差（续）所以再求的方差。同样作变量代换，可得：μππμ==Δ22)(EΔ)(ΔDΔ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Δ−−Δ=ΔΔΔ−Δ=Δ∫∫∞+∞−∞+∞−ddfED2222)(21exp)(21)())(()(μσμπσ2222)(σππσ==ΔD第二讲偶然误差（续）由以上推导知，参数和分别是随机误差的数学期望和方差。它们确定了正态分布曲线的形状。由知，随机误差的数学期望等于零。由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐点在横轴上的坐标为。方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐标的平方。偶然误差是服从分布的随机变量。μσΔΔ01lim)(1=Δ==Δ∑=∞→niinnEμσ±=Δ拐),0(2σNΔ第二讲偶然误差（续）三、精度及衡量精度的指标观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。1、精度：指误差分布的密集或离散的程度，即离散度的大小；描述偶然误差，指观测结果与其数学期望接近程度，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的高低。注意：所谓精度高低，是对不同观测组而言。对于同一组的若干个观测值，因对应于同一种误差分布，故每个观测值的精度都相同。在相同观测条件下进行的一组观测，每一观测值都称为等精度观测值。第二讲偶然误差（续）2、准确度：描述系统误差和粗差，指观测值的真值与其数学期望之差，即：3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，指观测结果与其真值的接近程度，包括观测结果与其数学期望接近程度和数学期望与其真值的偏差，是一个全面衡量观测质量的指标。精确度可用观测值的均方误差来描述，即：当，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。)(~LEL−=ε222)~)(()~()(LLELLELMSEL−+=−=σLLE~)(=第二讲偶然误差（续）4、衡量精度的指标精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其高低。为此，人们希望通过用一个数字来反映偶然误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如：4.1方差和中误差设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差，则其方差定义为：∫∑∞+∞−=∞→Δ=ΔΔΔ=Δ=Δ=ndfEDniin12222lim)()()(σiΔ第二讲偶然误差（续）方差的算术平方根定义为中误差，即在实际工作中，n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值：和nniin∑=∞→Δ=12limσnnii∑=Δ=12ˆσnnii∑=Δ=122ˆσ第二讲偶然误差（续）4.2平均误差设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差，则其平均误差由之绝对值的数学期望定义，即：因为所以iΔiΔ∫∑∞+∞−=∞→Δ=ΔΔΔ=Δ=ndfEniin1lim)()(θΔΔΔ=ΔΔΔ=∫∫+∞∞−+∞dfdf)(2)(0θσσσπθ547979.02≈≈=θθπθσ45253.12≈≈=第二讲偶然误差（续）由上式知，不同的，对应着不同的，于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差也可作为衡量精度的指标。在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值：也可由下式计算之：θσθnnii∑=Δ=1ˆθnnii∑=Δ==1254ˆ54ˆσθ第二讲偶然误差（续）4.3或然误差当观测误差出现在之间的概率等于二分之一时，称为或然误差（如图），即),(ρρ+−ρ∫+−=ΔΔρρ21)(df第二讲偶然误差（续）令，则有由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分限为0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系：t=Δσ∫∫+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=ΔΔρρσρπ212exp212)(2/0dttdfρρσσσρ234826.1,326745.0≈≈≈≈第二讲偶然误差（续）中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，但由于™当n不大时，中误差比平均误差更能灵敏地反映大误差的影响；™中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标）；™平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系；所以，世界上各国