误差理论与测量平差基础(武测)

第一章绪论一、观测误差(ObservationError)1、为什么要进行观测必要观测、多余观测2、误差存在的现象3、误差产生的原因观测条件：观测仪器、观测者、外界条件4、误差的分类粗差(grosserror),系统误差(systematicerror)偶然误差(randomerror、accidenterror)5、误差的处理办法第一章绪论三、测量平差的两大任务及本课程的主要内容二、测量平差的简史和发展第二章误差分布与精度指标ErrorDistributionandIndexofPrecision一、偶然误差的规律性2、偶然误差的分布（22221)(σσπΔ−=Δef1、随机变量（stochasticvariable)正态分布(normaldistribution)第二章误差分布与精度指标第二章误差分布与精度指标第二章误差分布与精度指标第二章误差分布与精度指标第二章误差分布与精度指标由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零；2、绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的理论平均值为零3、偶然误差的统计特性第二章误差分布与精度指标二、随机变量的数字特征（1）反映随机变量集中位置的数字特征---数学期望（2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度----方差（3）映两两随机变量x、y相关程度的数字特征---协方差第二章误差分布与精度指标1、数学期望（expectedvalue)（1）μ),(xE离散型：iiipxxE∑∞==1)(连续型：∫∞∞−=dxxxfxE)()((a)定义(b)运算规则Chapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecision2、方差(variance)2,),(xxDxDσ})]({[)(2xExExD−=(a)定义离散型：iiipxExxD∑∞=−=12)]([)(∫∞∞−−=dxxfxExxD)()]([)(2连续型：(b)运算规则Chapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecision3、协方差(covariance)(a)定义相关系数(correlationcoefficient)三、衡量精度的指标，xyσyxxyxyσσσρ=1、方差和中误差(varianceandmeansquareerrorMSE)2、平均误差(averageerror)3、或然误差(probableerror)4、极限误差(limiterror)5、相对（中、真、极限）误差(relativeerror)Chapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecision，四、随机向量的数字特征1、随机向量2、随机向量的数学期望3、随机向量的方差-协方差阵•协方差阵的定义•协方差阵的特点4、互协方差阵•协方差阵的定义•协方差阵的特点Chapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecision例1.在测站D上，观测了三个方向A、B、C，得10个测回的方向观测读数a、b、c，试估算各个方向观测值的方差、协方差、相关系数。abcdadbdc12847294718196950342.30.4-1.22342035-2.7-0.6-2.232818333.31.4-0.24331735-1.72.4-2.25352431-3.7-4.61.86351830-3.71.42.873116290.33.43.882925322.3-5.60.892719324.30.40.8103218370.71.4-4.2，3.31'472810][ˆoaa==，4.19'184710][ˆobb==8.32'506910][ˆocc==Chapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecisioniiiiiiccdcbbdbaada−=−=−=ˆ,ˆ,ˆ，)(68.891.78110][ˆ222==−=daaσ)(49.894.76110][ˆ222==−=dbbσ)(18.696.55110][ˆ222==−=dccσ，，95.2=aσ91.2=bσ49.2=cσ,42.098.39][ˆ===dadbabσ05.0ˆˆˆˆ==baababσσσρChapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecision例1：求随机变量的期望和方差。σμ−=xt+∞Δ∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Δ−=Δ,)(21exp21)(22μσπσf例2：对正态分布密度函数求随机变量的数学期望和方差。ΔChapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecision五、精度准确度精确度观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。1、精度：(precision)描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的高低。2、准确度：(accuracy)描述系统误差和粗差，可用观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：)(~LEL−=εChapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecision3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即：222)~)(()~()(LLELLELMSEL−+=−=σ当，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。LLE~)(=Chapter2.ErrorDistributionandIndexofPrecision七、小结衡量精度的指标精确度准确度精度粗差系统误差偶然误差随机误差绝对误差相对误差极限误差或然误差平均误差方差中误差真误差测量误差（观测误差）误差名词第三章协方差传播律(spreadofcovariance)几个概念1、直接观测量(directobservation)2、非直接观测量---观测值的函数水准测量导线测量三角形内角平差值3、独立观测值(independentobservation4、非独立观测值----相关观测值(correlationobservation)独立观测值各个函数之间不一定独立5、误差转播律6、协方差转播律Chapter3.spreadofcovariance一、观测值线性函数的方差设观测向量L及其期望和方差为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=−−=21,,21.........)]()][({[nnniTLLELLELEDσσσσ，nLL...1，)()...(1nLELEChapter3.spreadofcovariance函数：0KKLx+=函数的期望：0)()(KLKExE+=函数的方差：TLTKKDxExxExExD=−−=})]()][({[)(例：已知31...LL⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−=4021133,3LD求函数的方差。5221+−=LLxChapter3.spreadofcovariance二、多个观测值线性函数的方差-协方差阵若观测向量的多个线性函数为0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ++++=++++=++++=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=×××0201010212222111211211,,tttnttnnntttkkkKkkkkkkkkkKZZZZ##令TXXZZKKDD=0221120222212121012121111rnrnrrrnnnnfXfXfXfYfXfXfXfYfXfXfXfY++++=++++=++++=Chapter3.spreadofcovariance于是，观测向量的多个线性函数可写为0KKXZ+=若还有观测向量的另外r个线性函数0FFXY+=其矩阵形式为：Chapter3.spreadofcovariance则有：TYYTXXrrYYDFFDD==×TXXTTTTtrYZKFDKEXEXXEXFEkXKEkKXFXFEFFXEZEZYEYED=−−=−−+−−+=−−=×]))())(([(]))()()([(]))())(([(0000三、两个函数的互协方差阵Chapter3.spreadofcovariance四、非线性函数的情况第三章协方差传播律，例：设有观测向量L，已知其协方差阵为，求下列函数的协方差。，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3000200043,3D321132LLLF−+=3123LLF+=第三章协方差传播律，设观测向量的t个非线性函数为：五、多个观测向量非线性函数的方差—协方差矩阵()()()nttnnXXXfZXXXfZXXXfZ,,,,,,,,,2121222111===对上式求全微分，得第三章协方差传播律，，，对上式求全微分，得nnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=22112222112212211111第三章协方差传播律⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=ntttnnntXfXfXfXfXfXfXfXfXfKdXdXdXdXdZdZdZdZ##2122212121112121,,令TXXZZKKDD=则kdXdZ由误差传播定律得：=第三章协方差传播律六、协方差传播律的应用1、水准测量的精度例1：在单一水准路线AB上，为求待定点P的高程，观测了高差及，其相应的路线长度已知每公里观测高差中误差为，求高差平差值的协方差阵。1L2LkmSkmS2,421==cmkm1=σ第三章协方差传播律2、距离丈量的精度3、同精度独立观测值算术平均值的精度例2：已知距离AB=100m，丈量4次平均值的中误差为2cm，若以同样精度丈量距离CD=900m，求(1)丈量CD1次的精度(2)如丈量CD16次，则求丈量AB4次和CD16次的相对中误差第三章协方差传播律七、应用协方差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统一；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差-协方差矩阵。第三章协方差传播律八、权及定权的常用方法¾权的概念，，一定的观测条件对应着一定的误差分布，而一定的误差分布就对应着一个确定的方差，方差是表征精度的一个绝对的数字指标，为了比较各观测值之间的精度，除了可以应用方差之外，还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低，这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征称为权，所以权是表征精度的相对的数字指标。第三章协方差传播律权是权衡轻重的意思，其应用比较广泛，应用到测量上可作为衡量精度的标准。如有一组观测值时等精度的，那么，在平差时，应该将它们同等对待，因此说这组观测值是等权的，而对于一组不等精度的观测值，在平差时，就不能等同处理，容易理解，精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重，或者说，应占较大的权，所以平差时，对于一组不等精度的观测值应给予不同的权。¾权的概念第三章协方差传播律1、权的定义权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。220iipσσ=例1：量AB间距离，得两组观测值、，已知它们的中误差，，求L的权。1L2L，mm31=σmm22=σ例2：测D点高程，有观测值、、，已知，，求各观测值的权。1h2h3hmm31=σmm42=σmm53=σP第三章协方差传播律由此看出，