浮点数加减运算

如果一个二进制浮点数的尾数的绝对值小于1并且大于等于0.5，（1＞|尾数|≥0.5），那么这个二进制浮点数就是一个规格化的浮点数。用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有一个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是0.1XXXXXXXXX……的形式（0表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是1.0XXXXXXXXX……的形式（1表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有两个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是00.1XXXXXXXXX……的形式（00表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是11.0XXXXXXXXX……的形式（11表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）两个浮点数加减法的计算结果必须规格化，如果不是规格化的数，则要通过修改阶码并同时左移尾数（移多少位，没有限制，满足规格化就好），使其变为规格化的数。[例]x＝2010×0.11011011，y=2100×-0.10101100，浮点数均以补码表示，阶码采用双符号位，尾数采用单符号位。求x+y。答：（步骤1）转换成题目中要求的浮点数格式：浮点数x＝2010×0.11011011的阶码是+010，尾数是+0.11011011浮点数均以补码表示，所以阶码以补码表示，并且阶码采用双符号位，[x]浮的阶码＝00010（00是两个符号位）浮点数均以补码表示，所以尾数以补码表示，并且尾数采用单符号位，[x]浮的尾数＝0.11011011（0是1个符号位）浮点数y=2100×-0.10101100的阶码是+100，尾数是-0.10101100浮点数均以补码表示，所以阶码以补码表示，并且阶码采用双符号位，[y]浮的阶码＝00100（00是两个符号位）浮点数均以补码表示，所以尾数以补码表示，并且尾数采用单符号位，[y]浮的尾数＝1.01010100（1是1个符号位）（y=2100×-0.10101100中10101100先取反变为01010011，再加1后变为01010100）[x]浮=00010,0.11011011；[y]浮=00100,1.01010100；（步骤2）阶数对齐：x的阶码是+2（二进制00010），y的阶码是+4（二进制00100），阶码小的向阶码大的数对齐，x的阶码向y的阶码对齐。x的阶码加2，从00010变成00100，此时x的阶码与y的阶码相等。[x]浮尾数0.11011011右移两位(小数点不动，左边添加两个符号位，因为x的尾数是正数，所以添加的两个符号位是0)，[x]浮尾数变为0.00110110(11)0.11011011（右移两位，小数点不动，左边添加两个符号位）0.00110110(11)因为x的阶码与y的阶码相等，都是00010，所以把x的尾数与y的尾数相加。（步骤3）尾数相加0.00110110(11)＋1.01010100————————————————1.10001010(11)注意：因为y的尾数没有对应的位数，所以(11)直接落下来进入结果；x尾数的符号位0与y尾数的符号位1同样参与到加法运算。（步骤4）判断计算结果是否溢出：当计算结果的尾数只有一个符号位时，符号位与小数点后第一位相等，则没有溢出；如果符号位与小数点后第一位不等，则产生溢出。一旦发生溢出，计算结果的尾数右移一位，同时阶码加一。本题中计算结果的尾数是1.10001010(11)，其中符号位是1，小数点后第一位是1，二者相等，没有溢出。（步骤5）判断计算结果是否满足规格化：用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有一个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是0.1XXXXXXXXX……的形式（0表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是1.0XXXXXXXXX……的形式（1表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）本题中计算结果的尾数是1.10001010(11)，不满足规格化的浮点数的尾数是负数时应该是1.0XXXXXXXXX……的形式，因此不是规格化的浮点数。为了规格化，本题中计算结果的尾数是1.10001010(11)，左移1位，同时阶码减一。（只能左移，而且左移1位就可以了）原来的计算结果[x+y]浮=00100,1.10001010(11)；规格化后（尾数左移1位，小数点不动，右边添加一个0；同时阶码减一）[x+y]浮=00011,1.00010101(10)；尾数1.00010101，满足规格化的浮点数的尾数是负数时应该是1.0XXXXXXXXX……的形式，因此是规格化的浮点数。（步骤6）计算结果舍入处理就近舍入(0舍1入)法：类似”四舍五入”,丢弃的最高位为1，进1；本题丢弃的是(10)，最高位为1，所以向上进1位则有1.00010101＋1────────────────1.00010110结果为[x+y]浮=00011,1.00010110；直接舍弃法：本题(10)被直接舍弃。结果为[x+y]浮=00011,1.00010101；[例]x＝83，y=165，用变形补码计算x+y，并指出结果是否溢出。答：（步骤1）转换成题目中要求的浮点数格式：x=83=(3)10×2-3=(11)2×2-3=(0.11)2×2-1y=165=(5)10×2-4=(101)2×2-4=(0.101)2×2-1()10表示十进制数，()2表示二进制数。浮点数x=(0.11)2×2-1的阶码是-1，尾数是+0.11。变形补码要求本题中阶码采用补码形式并且两个符号位；尾数采用补码形式并且两个符号位。[x]浮的阶码＝11111（11是两个符号位；1对应二进制是001，001取反后是110，110再加1变成111）[x]浮的尾数＝00.11000000（00是两个符号位；题目没写尾数几位，自己假定尾数10位）浮点数y=(0.101)2×2-1的阶码是-1，尾数是+0.101。[y]浮的阶码＝11111（11是两个符号位；1对应二进制是001，001取反后是110，110再加1变成111）[y]浮的尾数＝00.10100000（00是两个符号位；题目没写尾数几位，自己假定尾数10位）[x]浮=11111,00.11000000；[y]浮=11111,00.10100000；（步骤2）阶数对齐：x的阶码是-1（二进制11111），y的阶码是-1（二进制11111）因为x的阶码与y的阶码相等，都是11111，所以不用移位处理，直接把x的尾数与y的尾数相加。（步骤3）尾数相加00.11000000＋00.10100000————————————————01.01100000注意：x尾数的符号位00与y尾数的符号位00同样参与到加法运算。（步骤4）判断计算结果是否溢出：当计算结果的尾数有两个符号位时，两个符号位相等，则没有溢出；如果两个符号位不等，则产生溢出。一旦发生溢出，计算结果的尾数右移一位，同时阶码加一。本题中计算结果的尾数是01.01100000，其中一个符号位是0，另外一个符号位是1，两个符号位不等，则产生溢出。计算结果的尾数01.01100000右移一位（小数点不动，左面添加最左边的符号位0），变成00.10110000（0）；同时阶码加一，从11111变成00000。（步骤5）判断计算结果是否满足规格化：用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有两个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是00.1XXXXXXXXX……的形式（00表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是11.0XXXXXXXXX……的形式（11表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）本题中计算结果的尾数是00.10110000（0），满足规格化的浮点数的尾数是正数时应该是00.1XXXXXXXXX……的形式。（步骤6）计算结果舍入处理因为舍弃的尾数是（0），所以无论哪种舍弃方法都会得到同样的结果。原因是舍弃0对结果本身无影响。因此（0）可以直接舍弃。结果为[x+y]浮=00000,00.10110000；（步骤7）验证结果正确性x+y=161116516616583=(11)10×2-4=(1011)2×2-4=(0.1011)2×20浮点数[x+y]=(0.1011)2×20的阶码是0，尾数是+0.1011。变形补码要求本题中阶码采用补码形式并且两个符号位；尾数采用补码形式并且两个符号位。[x+y]浮的阶码＝00000（00是两个符号位；0对应二进制是000）[x+y]浮的尾数＝00.10110000（00是两个符号位；题目没写尾数几位，自己假定尾数10位）步骤7与步骤6结果一致，所以步骤1到步骤6都是正确的。[例]x＝645，y=323，用变形补码计算x+y，并指出结果是否溢出。答：（步骤1）转换成题目中要求的浮点数格式：x=641=(1)10×2-6=(1)2×2-6=(0.1)2×2-5y=327=(7)10×2-5=(111)2×2-5=(0.111)2×2-2()10表示十进制数，()2表示二进制数。浮点数x=(0.1)2×2-5的阶码是-5，尾数是+0.1。变形补码要求本题中阶码采用补码形式并且两个符号位；尾数采用补码形式并且两个符号位。[x]浮的阶码＝11011（11是两个符号位；5对应二进制是101，101取反后是010，010再加1变成011）[x]浮的尾数＝00.10000000（00是两个符号位；题目没写尾数几位，自己假定尾数10位）浮点数y=(0.111)2×2-2的阶码是-2，尾数是+0.111。[y]浮的阶码＝11110（11是两个符号位；2对应二进制是010，010取反后是101，101再加1变成110）[y]浮的尾数＝00.11100000（00是两个符号位；题目没写尾数几位，自己假定尾数10位）[x]浮=11011,00.10000000；[y]浮=11110,00.11100000；（步骤2）阶数对齐：x的阶码是-5（二进制11011），y的阶码是-2（二进制11110），阶码小的向阶码大的数对齐，x的阶码向y的阶码对齐。x的阶码加3，从-5（二进制11011）变成-2（二进制11110），此时x的阶码与y的阶码相等。[x]浮尾数00.10000000右移三位(小数点不动，左边添加三个符号位，因为x的尾数符号位是0，所以添加的三个符号位是000）。[x]浮尾数变为00.00010000（000）因为移位后x的阶码与y的阶码相等，都是11110，所以把x的尾数与y的尾数相加。（步骤3）尾数相加00.00010000（000）＋00.11100000————————————————00.11110000（000）注意：因为x的尾数没有对应的位数，所以(000)直接落下来进入结果；x尾数的符号位00与y尾数的符号位00同样参与到加法运算。（步骤4）判断计算结果是否溢出：当计算结果的尾数有两个符号位时，两个符号位相等，则没有溢出；如果两个符号位不等，则产生溢出。一旦发生溢出，计算结果的尾数右移一位，同时阶码加一。本题中计算结果的尾数是00.11110000（000），其中一个符号位是0，另外一个符号位也是0，两个符号位相，不溢出。（步骤5）判断计算结果是否满足规格化：用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有两个符号位时：规格化的浮点数的尾数是正数时应该是00.1XXXXXXXXX……的形式（00表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）规格化的浮点数的尾数是负数时应该是11.0XXXXXXXXX……的形式（11表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）本题中计算结果的尾数是00.11110000（000），满足规格化的浮点数的尾数是正数时应该是00.1XXXXXXXXX……的形式。（步骤6）计算结果舍入处理因为舍弃的尾数是（000），所以无论哪