常见递推数列通项公式的求法

湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06常见递推数列通项公式的求法湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作061.｛an｝的前项和Sn=2n2－1，求通项an公式法（利用an与Sn的关系或利用等差、等比数列的通项公式）an=S1(n=1)Sn－Sn－1(n≥2)解：当n≥2时，an=Sn－Sn－1=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遗漏n=1的情形哦！当n=1时,a1=1不满足上式因此an=1(n=1)4n－2(n≥2,)*nN湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06已知数列的前n项和公式，求通项公式的基本方法是：注意：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)2()1(11nssnsannn2n例．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）}{na}{nannsn32212nsn湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06例．已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）（2）}{na}{nannsn32212nsn解：（1），当时由于也适合于此等式∴111sa2n54)]1(3)1(2[)32(221nnnnnssannn1a54nan（2），当时由于不适合于此等式∴011sa2n12]1)1[()1(221nnnssannn1a)2(12)1(0nnnan湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作062.已知{an}中，a1+2a2+3a3+•••+nan=3n+1,求通项an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范围∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1时,a1=9（n≥2）两式相减得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）*nN湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(1nfaann类型1湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(1nfaann类型1求法：累加法湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(1nfaann类型1求法：累加法.),2(12,2,1,}{11的通项公式求数列有时当已知中在数列nnaanaannn例1湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作063.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通项an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2－a1=1a3－a2=2a4－a3=3•••an－an－1=n－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+•••+(a2－a1)+a1=(n－1)+(n－2)+•••+2+1+1212122­nnnn演练：累加法(递推公式形如an+1=an+f(n)型的数列)n个等式相加得a1=14.已知{an}中,a1=1,an=3n－1+an－1(n≥2),求通项an练一练an+1－an=n(n∈N*)湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(1nfaann类型2湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(1nfaann类型2求法：累乘法湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(1nfaann类型2求法：累乘法.}{),2,()1(,1,}{11的通项公式求数列有已知中在数列nnnnanNnannaaa例2湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06演练：累乘法(形如an+1=f(n)•an型)6.已知{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,求{an}的通项公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－nan]=0∵an+1+an0∴(n≥1)11nnaann1213223121...nnnnnnn1∴an=...112aaa211nnnnaaaa注意：累乘法与累加法有些相似，但它是n个等式相乘所得∴(n+1)an+1=nan湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)1,0(1ppqpaann类型3湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)1,0(1ppqpaann.}{,),(.:1求通项化为等比数列为待定系数其中令待定系数法求法nnnaapa类型3湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)1,0(1ppqpaann.}{),1(32,1,}{11的通项公式求数列若中已知数列nnnnanaaaa例3.}{,),(.:1求通项化为等比数列为待定系数其中令待定系数法求法nnnaapa类型3湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(nnafS类型4湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(nnafS.}{}{,2:1的递推关系求解或化为时利用求法nnnnnSaSSan类型4湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)(nnafS.}{,N),2()1(6,1}{1的通项公式求且满足项和的前列已知各项均为正数的数nnnnnnanaaSSSna例4.}{}{,2:1的递推关系求解或化为时利用求法nnnnnSaSSan类型4湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06.}{,}{,12}{通项公式的求项和的前是其中满足已知数列nnnnnnanaSnaSa例湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)1,0)((1ppnfpaann类型5湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)1,0)((1ppnfpaann.)(:111后累加法求解待定系数法或化为求法pnfpapannnnn类型5湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06)1,0)((1ppnfpaann.}{),(22,1}{11的通项公式求数列中在数列nnnnnaNnaaaa例5.)(:111后累加法求解待定系数法或化为求法pnfpapannnnn类型5湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06),,(1均不为零rqprqapaannn类型6湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06),,(1均不为零rqprqapaannn.3,;,,:求通项则化为类型若通项则化为等差数列求若倒数法求法rprp类型6湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06),,(1均不为零rqprqapaannn.}{,12,1,}{111的通项公式求中已知数列nnnnnaSSSaa例7.3,;,,:求通项则化为类型若通项则化为等差数列求若倒数法求法rprp类型6湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06类型7其它类型湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06类型7其它类型求法：按题中指明方向求解.湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06.}{)2(}{:)1(),4,3)(2(31,2,1}{12121nnnnnnnnaaaanaaaaaa的通项公式求数列是等比数列；数列求证满足设数列例8类型7其它类型求法：按题中指明方向求解.待定系数法：2143.{}(){}nnnnanSpnpnpapa已知数列的前项和若数列为等差数列，求和例∴小结：由递推公式求数列的通项公式：112()()()()nnnnaaddaafnfn(1)为常数，，其中为等差或等比数列11412()()(),()()()nnnnaaqqafnafffn(3)为常数其中可求即可(5)an+1=pan+q（p,q为常数）1610()()(,,,)nnapafnqppq为常数且1710()(,,,)nnnapaqqppq为常数且18(),,nnnmaampqpaq（为常数）湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06例9，已知数列的递推关系为，且，，求通项公式。}{na4212nnnaaa11a32ana解：∵∴4212nnnaaa4)()(112nnnnaaaa令则数列是以4为公差的等差数列∴∴∴……nnnaab1}{nb2)1(1211aabdnbbn241naabnnn21412aa22423aa23434aa2)1(41naann两边分别相加得：∴)1(2)]1(321[41nnaan3422naan湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06例10，已知，，且，求。21a0na)(211Nnaaaannnnna解：∵∴即0211nnnnnaaaaa且2111nnaa7111nnaa令，则数列是公差为-2的等差数列因此nnab1}{nbdnbbn)1(1∴∴245)1(2111nnaannan452湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06常见的拆项公式111)1(1.1nnnn　　)11(1)(1.2knnkknn　　)121121(21)12)(12(1.3nnnn　　])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1.4nnnnnnn　　)(11.5bababa　　湖南长郡卫星远程学校2010年上学期制作06作业2.已知{an}中,an+1=an+(n∈N*),a1=1,求通项an12121nn1.已知{an}中,a1a2a3···an=n2+n(n∈N*),求通项an4.已知{an}中,a1=3,且an+1=an2(n∈N*),则{an}的通项公式an=____________3.已知{an}中,a1=1,an=n(an+1－an)(n∈N*),求{an}的通项公式an5.已知{an}中,a1=1,,求通项annnnnaaa11(提示:作倒数变换)