流体力学控制方程

第二章流体力学控制方程及其数学分类§2.1计算流体力学控制方程0)(Vt2.动量方程：*Ip**)()(FIpVVtVFVVtV)()(为粘性应力张量1.连续方程：（一）基本守恒律方程)()(VqVFVEtE221VpE)*()()(VVpV)(Tkq)*()(])[(VTkVFVpEtE3.能量方程:（二）守恒型控制方程对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守恒方程或非守恒方程，通常没有本质的差别，但在离散的数值计算中，守恒型与非守恒型将可能导致很大的差别，尤其是求解含激波等弱解问题时。故方程的守恒性是计算流体力学中，必须特别注意的问题。（三）直角坐标系下的守恒型方程0zGyExFtUtEwvuUupEuwuvpuuFt)(2vpEvwpvvuvEt)(2wpEpwvwuwwGt)(2不计质量力（或质量力有势），理想流体、若考虑粘性，则：0)()()(111zGGyEExFFtUxTkwvuFxzxyxxxzxyxx01yTkwvuEyzyyxyyzyyxy01zTkwvuGzzzyxzzzzyxz01（四）控制方程的无量纲化△当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时，不同类型的微分方程，其数值处理方法各异，其中包括定解条件提法的适定性、物理解的性质、差分格式的适用性等。△在一些特殊的问题中，甚至通过差分格式的特技巧来改变方程的数学性质。§2.2流体力学控制方程组的分类（一）二阶线性偏微分方程分类fcuyubxubyuayxuaxua21222221222112aaa2211212其中a11等系数均不是u及其导数的函数。判别式椭圆型抛物型双曲型000（二）一阶拟线性微分方程组的分类对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：其中：U为n阶向量，A为n阶矩阵FxtiUAUnuuu21U若：A的特征值为:则有如下结论的根即0λIA1,2,...n),(iλi⑴n个特征值全部为复数时，称方程在(t,xi)平面上为纯椭圆型；⑵n个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在(t,xi),平面上为纯双曲型；而当n个特征值全部为实数，但有部分为相等的实数时，称方程(t,xi)在平面上为双曲型；⑶n个特征值全部为零时，称方程在(t,xi)平面上为纯抛物型；⑷n个特征值部分为复数、部分为实数时，称方程在(t,xi)平面上为双曲椭圆型；（5）n个特征值部分为复数、部分为重根时，称方程在(t,xi)平面上为抛物椭圆型，整体上属椭圆型；（6）n个特征值部分为相异实根、部分为重根时，称方程在(t,xi)平面上为双曲抛物型，整体上属抛物型；（三）流体力学控制方程数学分类的举例1.一维非定常Euler方程双曲型2.二维定常Euler方程payvxuaypvxpuypyvvxvuxpyuvxuuyvxuyvxu220)(110)(写成向量形式：0yxUBUA0yxUCUpvuUupuuuA0000010000vpvvvB00100000002222222222222222222210100)(0)(BACauuvauuauvauuvauvauaauuvauuvauuauvuv求矩阵C的特征值得：222224,32,1422222220)()]([)(auavuauvuvavuaauuvuv如果：双曲－椭圆型两个实根，两个复根，）四个实根，双曲型）102101222222MavuMavu3.二维非定常Euler方程0yxtUBUAUBACADUDUCU110tyx求C的特征值，结论与定常相同：得到在X-Y平面的方程性质；求D的特征值,得:auauuauauu11,10)1)(1()1(432,12为四个实根，即方程在x-t平面为双曲型；所以Euler方程可以在时间座标方向推进，而在定常问题中能否推进计算，必须根据流动是否为超音速（M与1的关系）来定。4.定常不可压缩Navier–Stokes方程)(1)(1022222222yvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuuyvxu降阶法,令：xvhyugyvxufhxvfxuyhxfxgyfvfuhyvxvypvgufyuxuxp00)(1)(122222222hxvfxuvgufygyhxpvfuhyfypxhyfxgyhxf)()(100令TvuphgfU,,,,,FyUAtUii6,54,32,10矩阵A的特征值为：其中2,1对应新变量f,h，因此定常不可压N-S方程为椭圆型。5.二维定常可压NS方程iiuv8,76,543,2,1,,,0定常可压NS方程是双曲椭圆型。采用降阶法分析：利用边界层流动的概念，设x方向为主流方向，即考虑有：2222yx定常N-S方程经此处理后，变为抛物型方程FyUDyUBxUA226.抛物化N-S方程把流动方向的二阶偏导数略去。适定性——保证所研究的偏微分方程（组）定解问题的存在、唯一，并且连续依赖于定解条件。对于普遍的一阶拟线性偏微分方程组而言，定解条件的准确投放，仍是一个没有完全解决的问题。§2.3偏微分方程定解条件的提法（一）不同数学类型偏微分方程定解条件的提法02222yuxu),(yxfu),(yxfnu1.椭圆型偏微分方程第一类边界条件：Dirichlet问题第二类边界条件：Neumann问题第三类边界条件：Robin问题),()(yxfhunuk2.双曲型偏微分方程0xuatu解域中存在特征线，提纯初值问题可以，提边值问题要结合特征线走向。3.抛物型偏微分方程22xutua)(tgu)(tgnu第一类边界条件)()(tghunuk第二类边界条件第三类边界条件§2.4模型方程以及在计算流体力学中的应用（1）模型方程的引入★简化对差分格式的性质的讨论及考核★必须反映物理问题的最基本的特征，且方便于进行理论分析)(12222yVxVpyVvxVutV例如动量方程：模型方程可以简化为：22xuxuutuBurgers方程。（二）几个典型的模型方程0xuatu22xutu22xuxuatu02222yuxu22xuxuutu0xuutu其中前4个方程为线性方程，可求出解析解，后两个方程为非线性方程，也可以求出解析解。单波方程热传导方程Burgers方程Laplace方程非线性Burgers方程非线性单波方程▲Burger方程的解析解：(1):粘性系数，时为无粘方程。22xuxuutu0解：时,可令未知函数具有如下的形式：(2)0xtxu2),(),(tx)(2)(22ttxtxxtu其中是待定的二阶可微分函数，将其代入(1)式,得：代入(1)，则得:不妨设为满足抛物方程的解，即：(3)将的解代入(2)式，即给出了Burger方程的解析解的一般形式。)(4222xxxxxuu3322222)2)[(2xxxxxxxxu0][xxtx0xxt若的初始条件为:，则由(2)给出的对应于的初始条件是：由（3）给出的Burger方程的通解是：再代入(2)可得的解析解。特别指出，粘性Burger方程的解是连续的。),(txu)()0,(xfxu),(tx)(])(21exp[)0,(0xFdfxxdeFttxtx4)(2)(41),(),(txu★无粘Burger方程解的间断性：)()0,(0xfxuxuutu设通解为：)(),(utxftxu讨论：tffutufuxxx'1')1('表示在t-x座标中的某一个特定的点，其对应的u为u(s),使上式为0。0)('1,0'1)()()(ssstutxftf＋即）（ssxt,)(,xu0)('0)()()(sssutxft即必定在点发生解的间断，间断的位置由(5)式确定.),(txu)()(),(sstx