流体力学教案第6章不可压缩流体的平面势流

第六章不可压缩流体的平面势流§6-1有势流动的速度势函数一、速度势函数对于无旋流动，有yuxxwzuzyw(1)根据数学分析可知：上式成立是zwyxuddd成为某一函数),,,(tzyx的全微分的充要条件。称为速度势函数，简称速度势。即：zwyxudddd又有：zzyyxxddddxu，y，zw又由矢量分析：kziyixkwiiuVgrad(2)即速度势的梯度等于流场的速度。在柱坐标中：径向速度：rr切向速度：rs轴向速度：zz由此可见，对任意方向的偏导数，就是速度V在该方向的投影，这是的一个重要性质。函数),,,(tzyx称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动)0rot(V，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。在有势流动中，Γ和的关系为：BABAABzwyxusVΓddddABBAd(3)即在有势流动中，沿AB曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B与起点A的速度势之差。又：在有势流动中，沿任一封闭周线K的速度环量KKzwyxusVΓddddKd＝若是单值或由斯托克斯定理，则0dK二、势函数方程将xu，y，zw代入不可压流体连续方程：0zwyxu则有：02222222zyx(4)(其中2222222zyx称为拉普拉斯算子)即在不可压流体的有势流动中，速度势满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数，数学上称为调和函数，所以，速度势点数是一个调和函数。对柱面坐标，的拉普拉斯方程为：222222211zrrrr(5)〔推导过程为：将rr＝，r＝，zz＝代入柱面坐标的连续方程，即可〕根据以上讨论可知：只要流体流动无旋。则必然存在单值的速度势函数，反之，若流场中存在单值的势函数，则此流动必为无旋流动。此外，流动无旋，流场中沿封闭曲线的速度环量为零。即：0＝00Γ＝因此，求解不可压流体的无旋流动问题，便可归结为求解速度势问题，以此求得速度场，再由无旋流动的伯努利方程constg2g2Vpz，求得压力分布。§6-2流函数一、不可压缩流体的流函数以上引进的势函数虽然能使问题简化，但它仅限于有势流动(即无旋流动)，对于有旋流动，我们必须根据定常，不可压二元流动的连续方程，引出流函数的概念。推导如下：由二元不可压流体的连续方程0yxu则：yxu(1)又：平面流动的流线微分方程为：yuxdd0ddxyu(2)由数学分析可知：(1)是(2)成为某一函数),(yx的全微分的充要条件。即：xyuddd(3)又：yyxxddd所以，yu，x(4)则，xyxu2，yxy2022yxxyyxu说明满足连续性方程二、流函数的基本性质(1)等流函数线为流线显然，在流线上，xyudd，即0d即：c即，c的曲线为流线。在每条流线上的常数值各不相同。(2)即：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。证：取两道流成21,，再取曲线AB垂直于各流线，假定垂直纸面的尺寸为1，在AB曲线上取微元线段ld，其上速度为V，则通过曲线AB的体积流量为：BABAd),cos(),cos(dlyVxVulVqnBAd)dd(ddllxlyu12ABBABAdddxyuX指向减小方向，lxdd为负。为使),cos(yV为正，所以在dx前加负号。证毕。由此可见：两根流线之间的流量等于两流函数的差值。同时，由于在引出这个概念时，没有涉及流体是有粘性还是无粘性(即理想或实际)，有旋或无旋。所以，不论是有粘性还是无粘性，有旋还是无旋，只要是不可压流体的平面流动，就存在流函数。三、流函数方程02222222zyx(5)XYOVABψ1ψψ2uυ-dx-dxdydl四、边界条件若无穷远处均匀来流绕流一物体时，在不分离的情况下，对于固定不动的边界，在壁面上流体的法向速度为0，而壁面必然是流线，通常令壁面上的流函数值为0，因此，壁面上的边界条件可写作：0nVn或=0(6a)对于无穷远处均匀来流，当取X轴与来流方向一致时，则有0xyVyxu(6b)五、与之间的关系1．满足柯西黎曼条件对不可压流体的平面无旋(有势)流动，则必然同时存在和，而对平面无旋流动，由0z，可推出则0yux(7)再将yu，x代入上式得：022222yx(8)对极坐标：0112222222rrrr(9)所以不可压流体平面无旋流动的流函数，满足拉普拉斯方程，也是调和函数。又：对平面无旋流动，必然存在由xyyxu柯西黎曼条件2．流线与等势线正交0是流线与等势线正交的条件jyixjyix0yyxx式就是等势线簇c和流线簇c互相正交的条件。所以说明c(等势线簇)和流线簇c正交。在XY坐标平面上由c及c画图，构成正交网格，称为流网。如下图所示。§6-3几种简单的势流流动不可压流体平面无旋流动的流函数和势函数，满足拉普拉斯方程，而且，拉普拉斯方程是线性齐次方程，其解具有叠加性。设21，是两个有势流动，均满足：012212212yx，022222222yx叠加后，可得；021222122212yx(1)同理：021222122212yx(2)11V，22V212121VVV一、一、平行流(均匀直线流动，无旋，参看下图)V设流体作等速直线流动，流场中各点速度大小，方向均相同。即cosVu，sinVsincosyVxV(3a)yuxdddcossinyVxV(3b)当取x轴与来流方向一致时，则有，0，0xV，yV显然，c与c互相垂直(斜率互为负倒数)，并且都满足拉普拉斯方程。又：由位流伯努利方程constg2g2Vpzyx0uθυ由constV，则constgpz若平行流在水平面上进行(即z=常数)，或流体重度可忽略不计，则constp即流场中压力处处相等。二、点源与点汇设在无限大平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出。(如图所示)这种流动称为点源。这个点称为源点。反之，若流体沿径向直线匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。显然，点源和点汇流动都只有径向速度r且rr切向速度0又：对半径为r，单位长度的圆柱面，由质量守恒，则流体通过统一圆柱面的流量Q应相等。则：常数rrQ12rQr2(4)式中，Q是点源(或点汇)单位时间流入(或流出)的流量。称为点源或点汇的强度。对点源Q＞0，0r我们取+Q，对点汇，Q＜0，0r，取-Q。则rrQrrrrd2dddyxyx点源点汇22ln2ln2yxQrQ(5)当r=0时，与r都变成无穷大，所以源点(或汇点)是奇点。所以(4)，(5)仅仅在源点(汇点)以外才适用。又由柯西黎曼条件：yxxy则yyxxddd积分：2Q(6)或由极坐标的柯西黎曼条件：srrs则：2d2ddQrrQssrr等势线const，即constr是半径不同得同心圆，(由QcrCrQ2eln2圆的方程)，与流线const(即const)互相正交。(参图虚线为等势线，实线为流线)。又将与代入极坐标的拉普拉斯算子22222211rrrr均满足拉普拉斯方程02，02由此可见，点源与点汇均是无旋流动。对无限水平面的无穷远处02rQr三、涡流与点涡1、速度分布设有一旋涡强度为J的直线涡束，该涡束半径为r0沿Z轴方向为无限长(如图)，且该涡束好像刚体一样以等角度绕自身轴旋转，由于假设直线涡束沿Z轴方向无限长，即认为在与Z轴垂直的所有平面上流动情况都一样。所以，此种流动可视为平面运动处理。而涡束周围的流体将被带动着做旋转运动。如图所示，这种运动称为涡流。设涡束轴为Z轴，则由涡束所诱导的环流的流线就是以坐标原点为圆心的圆心园。由于涡束以等角速旋转，则速度沿半径的变化规律由斯托克斯定理求得：由该定理：沿任何圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度。即：20ddrsΓ202const2rJrrΓ2(7)显然，由等环量，则在涡束外，r，r，0涡束内，流体如同刚体一样以等角速绕自身轴旋转，即r显然常数，则r，r通常称涡束外为势流旋转区，涡束内为涡核区。证：除原点外，涡流为无旋流动由(1)rΓ2而ryrΓu2sin222yxyΓ2222cosyxxΓrxrΓ则)(21yuxz=0)()(2)(242222222yxyxyxΓ，因此，除原点外，涡流为无旋流动证毕。2、涡核区的压力分布推导如下：由平面定常流动的欧拉微分方程xpyuxuu1gpyxu1涡核内任一点的速度为：xyur则0xu，yu；x，0yYr0uυx,yrυθ代入欧拉方程，则：ypyxpx10)(1)(-0yypyyxxpxxd1dd1d22其中sinsinruy由于u与x轴反向所以加负号coscosrx两式则：)dd(1)dd(2yypxxpyyxxpyxd1)d(2222积分得：CCrp22222Cp221边界条件：000,,pprr则2002002121pCCp代入通解则涡核区任一点压力涡束边界压力20022121pp，0为强制旋涡(即涡束)的边界速度由于涡束外是势流，由伯努利方程：则2002002121pppp代入上式，得涡核区的压力分布为：20221pp又：当0rr，0时，0pp则20021pp而当r=0时p=p中心=pC，0代入涡核区任一点压力涡束边界压力则20021cpp200021cpppp由此可见，涡核内外压力降相等，都等于以涡核边缘的速度计算的动压头。涡核内外的压力分布如图所示。由上图可见，