2.3.2平面向量的正交分解、坐标表示

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•必修4•(配人教A版)◆2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算平面向量金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆1．理解向量的坐标表示．2．掌握向量的有关坐标运算：两坐标的和、两坐标的差、数乘向量坐标和向量的坐标运算．AB金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆基础梳理一、平面向量的坐标表示1．平面向量的正交分解：把一个向量分解为________叫做把向量正交分解．2．在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数x、y使得________．这样平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量的坐标表示．1.两个互相垂直的向量2.a＝xi＋yja＝(x，y)金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆3．几个特殊向量的坐标表示i＝________，j＝________，0=________.4．以原点O为起点作向量，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)，就是________；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是________．OAOAOA3．(1,0)(0,1)(0,0)4.终点A的坐标向量的坐标OA金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆思考应用1．点的坐标和向量的坐标有什么区别和联系？解析：(1)点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，其仅仅由大小和方向决定，与位置无关；(2)向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标，当向量起点在原点时，向量的终点坐标就等于向量的坐标．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆二、向量的坐标运算1．两个向量和差的坐标运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________；a－b＝________.2．数乘向量和坐标运算若a＝(x，y)，则λa＝__________.3．向量的坐标表示若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝______.即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______．ABAB1.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)2.(λx，λy)3．(x2－x1，y2－y1)终点的坐标减去始点的坐标金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆思考应用2．向量平移前后始点、终点的坐标发生了变化，而向量本身的坐标却不变，这怎么解释呢？解析：解决这个问题的关键是探讨始点、终点坐标的变化是否会引起向量坐标的变化，向量经过平移以后得到向量，这两个向量的坐标分别等于其相应的终点的坐标减去始点坐标，尽管对应的始点、终点坐标不同，但由坐标表示过程中构造的平行四边形全等可知，其差值是不变的，所以一个向量的坐标只和表示它的有向线段的始点、终点的相对位置有关，而与具体位置无关．ABCD金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆自测自评1．若向量(x，y)＝0，则必有()A．x＝0或y＝0B．x＝0且y＝0C．xy＝0D．x＋y＝02．已知MA→＝()－2，4，MB→＝()2，6，则12AB→＝()A．(0,5)B．(0,1)C．(2,5)D．(2,1)BD金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆3．已知a＝(3,－1)，b＝(－1,2)，c＝2a＋b则c＝()A.(6,－2)B.(5,0)C.(－5,0)D.(0,5)4．若点A(－2,1)，B(1,3)，则＝_________.B(－3,－2)金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆平面向量的坐标运算已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求a＋b，a－b，3a＋4b.分析：利用向量的坐标运算法则．解析：a＋b＝()2，1＋()－3，4＝()－1，5，a－b＝()2，1－()－3，4＝()5，－3，3a＋4b＝3()2，1＋4()－3，4＝()6，3＋()－12，16＝()－6，19.点评：(1)实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来向量的相应坐标．(2)两个向量的和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆跟踪训练解析：(1)2a＋3b＝2()－1，2＋3()2，1＝()－2，4＋()6，3＝()4，7；(2)a－3b＝()－1，2－3()2，1＝()－1，2－()6，3＝()－7，－1；(3)12a－32b＝12()－1，2－32()2，1＝－12，1－3，32＝－72，－12.1．已知a＝()－1，2，b＝()2，1，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)12a－32b.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆用方程思想求向量坐标已知a＋b＝(2,-8),a－b＝(－8,16),求a和b.分析：设a＝(m，n)，b＝(p，q)，则问题就可转化为方程思想解决．解析：解法一：设a＝()m，n，b＝()p，q，则m＋p＝2n＋q＝－8m－p＝－8n－q＝16，解得m＝－3n＝4p＝5q＝－12.∴a＝()－3，4，b＝()5，－12.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆解法二：a＝12[]()a＋b＋()a－b＝()－3，4，b＝12[]()a＋b－()a－b＝()5，－12.点评：上面两种方法都是通过解方程组得到解决，解法一侧重以坐标为主体的方程；解法二是整体思想，解向量方程．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆跟踪训练2．已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，c＝(－6,19)，用a，b，表示c.解析：设c＝xa＋yb，则有()－6，19＝x()2，1＋y()－3，4＝()2x－3y，x＋4y，∴2x－3y＝－6x＋4y＝19，解得x＝3y＝4.∴c＝3a＋4b.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆平面向量的坐标表示分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识，求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的系数．已知A()1，－2，B()2，1，C()3，2和D()－2，3.以AB→，AC→为一组基底来表示AD→＋BD→＋CD→.AB→、AC→、AD→、BD→、CD→AD→＋BD→＋CD→＝m·AB→＋n·AC→，金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆解析：AB→＝()1，3，AC→＝()2，4，AD→＝()－3，5，BD→＝()－4，2，CD→＝()－5，1.AD→＋BD→＋CD→＝()－3，5＋()－4，2＋()－5，1＝()－12，8.根据平面向量的基本定理，一定存在实数m，n使得AD→＋BD→＋CD→＝m·AB→＋n·AC→，即()－12，8＝()m＋2n，3m＋4n，可得m＋2n＝－123m＋4n＝8，解得m＝32n＝－22.所以AD→＋BD→＋CD→＝32AB→－22AC→.点评：坐标运算要熟记公式，始点和终点的前后顺序不可颠倒，否则会出现错误．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆跟踪训练3．若A、B、C三点的坐标为()2，－4，()0，6，()－8，10，求AB→＋12BC→和BC→－2AC→的坐标．分析：本题主要是考查向量的坐标表示、向量的坐标运算．问题已给出A、B、C三点的坐标，因此可写出向量的坐标，进而利用向量的数乘、加、减的坐标运算，问题就可得解．AB→、BC→、AC→金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆解析：AB→＝()－2，10，BC→＝()－8，4，AC→＝()－10，14.∴AB→＋12BC→＝()－2，10＋12()－8，4＝()－2，10＋()－4，2＝()－6，12；BC→－2AC→＝()－8，4－2()－10，14＝()－8，4－()－20，28＝()12，－24.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆平面向量坐标在几何中的应用已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四个顶点．分析：根据平行四边形对边平行且相等，即有BA→＝CD→，AD→＝BC→.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆解析：设D()x，y，则BA→＝()－2，1－()－1，3＝()－1，－2，CD→＝()x，y－()3，4＝()x－3，y－4.∵BA→＝CD→∴x－3＝－1y－4＝－2，解得x＝2y＝2.∴D()2，2.点评：设出所求点的坐标，利用向量相等或向量共线列方程组求解，利用方程的思想求解向量中未知的点的坐标，是一种最基本的方法．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆跟踪训练4.已知平面上三点的坐标分别为A(1,2)，B(3，－1)，C(5,6)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD的四个顶点．解析：设D()x，y，则BA→＝()1，2－()3，－1＝()－2，3，CD→＝()x，y－()5，6＝()x－5，y－6.∵BA→＝CD→，∴x－5＝－2y－6＝3，解得x＝3y＝9.∴D()3，9.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆一级训练1．若AB→＝()2，3，且点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为()A．(1,1)B.()－1，1C.()3，5D.()4，42．已知a＝()5，－3，b＝()1，－5，则2a－b等于()A.()－9，1B.()－9，－1C．(9，－1)D.()9，1CC金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．2．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟悉的数量运算．3．求一个向量时，首先求一个向量的始点和终点坐标．4．求一个点的坐标，可以转化为求一个始点在原点，终点在该点的向量坐标．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•必修4•(配人教A版)◆祝您