2018寒假半角模型

.Word范文半角模型过等腰△ABC（AB=AC）顶角A引两条射线且它们的夹角为12∠A，这两条射线与底角顶点的相关直线交于M、N两点，则BM、MN、NC之间必然存在固定的关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关解决办法：以A为中心，把△CAN（顺时针或逆时针）旋转α度，至△ABN’，连接MN‘结论：1、△AMN≌△AMN’，MN=MN‘2、若BM、MN’、N‘B共线，则存在x+y+z型的关系若不共线，则△BMN’中，∠MBN‘必与∠A相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°、60°、75°90°，或它们的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型条件：思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）结论：①MN=BM+DN②③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.180210且ABCCMN2.Word范文（2）对称（翻折）思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=且AB=AD）例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：①.∠MAN=②.③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.思路同上略.018045ABCCMN2.Word范文例2拓展：在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.②.求证：AB=AH.（提示）45.Word范文例3.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE+DF.求证：（提示）180.21BADEAF.Word范文例4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE。例五.请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2ABCDE.Word范文例6探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..练习巩固1：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=，AB=AD，若E、90.Word范文F分别在边BC、CD上的点，且.求证：EF=BE+DF.（提示）练习巩固2，已知：正方形ABCD中，45MAN，绕点A顺时针旋转，它.21BADEAF.Word范文的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．（1）如图1，当MAN绕点A旋转到BMDN时，有BMDNMN．当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BMDN，和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．练习巩固3(1)如图，在四边形ABCD中，,90ABADBD，,EF分别是NMDCBANMCDBANMDCBA.Word范文边,BCCD上的点，且12EAF=BAD．求证：EFBEFD;(2)如图在四边形ABCD中，,180ABADB+D，,EF分别是边,BCCD上的点，且12EAFBAD，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3)如图，在四边形ABCD中，ABAD，180BADC，,EF分别是边,BCCD延长线上的点，且12EAFBAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（4）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．EFDCBAEFDCBAEFDCBA.Word范文（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=6cm；②求证：EP=AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．（5）.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．（1）若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF．（2）若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．FEDCBA.Word范文练习巩固4.如图，五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，BAECAD21，求∠BAE练习巩固5.如图，已知在正方形ABCD中，MAN=45°，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。求证：（1）MN=MB+DN；（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；（3）CMN的周长等于正方形ABCD边长的2倍；（4）ABCDCMNS2ABSMN；（5）若MAB=20°，求AMN；（6）若MAB045，求AMN；（7）222EFEBDF；（8）AEN与AFM是等腰三角形；（9）AEFAMNS1S2。.Word范文练习巩固6.在等边ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点MND，，为ABC外一点，且60MDN，120BDC，BDCD，探究：当点MN，分别爱直线ABAC，上移动时，BMBNMN，，之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系．（1）如图①，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，BMNCMN，，之间的数量关系式_________；此时QL__________（2）如图②，当点MN，在边ABAC，上，且DMDN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点MN，分别在边ABCA，的延长线上时，若ANx，则Q_________(用xL，表示)图①MNDCBA图②MNDCBAN图③MDCBA.Word范文练习巩固7.如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M，N分别在AB，AC上，求△AMN的周长练习巩固8.如图，在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE+∠DCF为多少度。巩固练习9、（三新练习册P131）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段．．AC于点M，K．(1)①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK_______MK(填“”，“”或“=”)．②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK___MK(只填“”或“”)．(2)猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．(3)如果222AMCKMK，请直接写出∠CDF的度数和AMMK的值．(M)EKDCABFMEKDCABFMEKDCABFLMEDCAB(F,K).Word范文**必会结论--------图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且45EAF，AE、AF分别交BD于H、G，连EF.一、全等关系（1）求证：①EFBEDF；②22HGBHDG；③AE平分BEF，AF平分DFE.二、相似关系（2）求证：①DGCE2；②BHCF2；③HGEF2.（3）求证：④DHBGAB2；⑤HGBGAG2；⑥21CFDFCEBE.三、垂直关系（4）求证：①EGAG；②FHAH；③BEABHCFtan.（5)、和差关系求证：①BEDGBG2；②DHDFAD2；③||2||DGBHDFBE..Word范文EACDB中考链接----正方形二相关题型--半角模型1，（2016石景山28）．在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．（1）请你在图-1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与∠CBE的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CEDE，请写出求cos∠FED的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1图2备用图答案石景山28．（1）补全图形，如图1所示．…………………………………1分（2）与的数量关系：．………2分证明：连接，，延长到，使得，连接…3分∵四边形为正方形，∴，．∴△≌△．∴，．∵，∴．……………………4分∴△≌△．∴∠=∠．∴．………………5分（3）求解思路如下：a．设正方形的边长为，为，则，；b．在Rt△中，由,ABFCBE45ABFCBEBFEFDCGAFCGBGABCDABBC90ABCDABCBAFBCGBGBFABFCBGEFCEAFEFGEBEFBEGFBECBEABFMBE45ABFCBE3aAFxEFxa3DFaxEFD222EFDFDEACDBFEACDBGFEACDBMEACDB.Word范文321FNMB'E'EDACB321FNMB'E'EDACB可得从而得到与的关系；c．根据cos∠FED，可求得结果．………7分2，（2016门头沟28）．在正方形ABCD中，连接BD．（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD交于M，AE'的延长线与BD交于N．①依题意补全图1；②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）门头沟28．（本小题满分7分）解：（1）∠BAE=45°．…………………………………………………………………1分（2）①依题意补全图形（如图1）；………………………………………2分②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+ND2=MN2．………………3分证明：如图1，将△AND绕点A顺时针旋转90°，得△AFB．∴∠ADB=∠FBA，∠1=∠3，DN=BF，AF=AN．∵正方形ABCD，AE⊥BD，∴∠ADB=∠ABD=45°．∴∠FBM=∠FBA+∠ABD=∠ADB+∠ABD=90°．∴由勾股定理得FB2+BM2=FM2．∵旋转△ABE得到△AB'E'