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第7讲┃一元二次方程及其应用第7讲┃考点聚焦考点聚焦考点1一元二次方程的概念及一般形式一元二次方程定义含有________个未知数，并且未知数最高次数是________的整式方程一般形式________________防错提醒在一元二次方程的一般形式中要注意强调ax2＋bx＋c＝0(a≠0)一2ax2＋bx＋c＝0(a≠0)第7讲┃考点聚焦考点2一元二次方程的四种解法直接开平方法适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程因式分解法基本思想把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0方法规律常用的方法主要运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式型因式分解第7讲┃考点聚焦求根公式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0,且b2－4ac≥0时，则x1,2＝－b±b2－4ac2a公式法公式法解方程的一般步骤(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；(2)确定a，b，c的值；(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式，得x1，x2；若b2－4ac0，则方程无实数根第7讲┃考点聚焦配方法定义通过配成完全平方的形式解一元二次方程配方法解方程的步骤①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方解方程考点3一元二次方程的根的判别式第7讲┃考点聚焦两个不相等两个相等没有根的判别式定义关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.(1)b2－4ac0⇔方程有________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有________的实数根；判别式与根的关系(3)b2－4ac0⇔方程________实数根一元二次方程根的判别式防错提醒在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件考点4一元二次方程的应用第7讲┃考点聚焦应用类型等量关系增长率问题(1)增长率＝增量÷基础量(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b利率问题(1)本息和＝本金＋利息(2)利息＝本金×利率×期数销售利润问题(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价第7讲┃归类示例归类示例►类型之一一元二次方程的有关概念命题角度：1．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念．例1已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为()A．－1B．0C．1D．2A[解析]把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a)＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A►类型之二一元二次方程的解法命题角度：1．直接开平方法；2．配方法；3．公式法；4．因式分解法．第7讲┃归类示例例2[2012·无锡]解方程：x2－4x＋2＝0.[解析]通过对方程的观察发现此题直接应用公式法x＝－b±b2－4ac2a解比较方便．解：∵Δ＝42－4×1×2＝8，∴x＝4±82.x1＝2＋2，x2＝2－2.利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．第7讲┃归类示例►类型之三一元二次方程根的判别式第7讲┃归类示例命题角度：1．判别一元二次方程根的情况；2．求一元二次方程字母系数的取值范围．例3[2012·绵阳]已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．第7讲┃归类示例解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋40，∴方程恒有两个不相等的实数根．(2)①把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，∴原方程为x2－4x＋3＝0，解这个方程得：x1＝1，x2＝3，∴方程的另一个根为x＝3.②当1、3为直角边时，斜边为12＋32＝10，∴周长为1＋3＋10＝4＋10.当3为斜边时，另一直角边为32－12＝22，∴周长为1＋3＋22＝4＋22.(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件第7讲┃归类示例►类型之四一元二次方程的应用命题角度：1．用一元二次方程解决变化率问题：a(1±m)n＝b；2．用一元二次方程解决商品销售问题．第7讲┃归类示例例4[2012·徐州]为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费做如下规定：一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．(1)求a的值；(2)若该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？a100第7讲┃归类示例[解析](1)由题意可得出3月份的用电量超过了a度，而4月份的用电量在a度以内，那么可根据3月份的用电情况来求a的值．可根据：不超过a度的缴费额＋3月份超过a度部分的缴费额＝总的电费；列出方程，进而可求出a的值．然后可根据4月份的用电量大致判断出a的取值范围，由此可判定解出的a的值是否符合题意．(2)由(1)得a的值，把45代入即可．第7讲┃归类示例本例中超过a度超过部分收费计算方法是(80－a)×a100，这个代数式是列方程中一个重要式子，要注意4月份的用电情况中隐藏了a的大致取值范围，据此可舍去不合题意的解．第7讲┃回归教材根的判别式作用大回归教材教材母题江苏科技版九上P91T2k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？求这时方程的根．解：∵方程有两个相等的实数根，∴(－k)2－4×1×4＝0，即k2＝16.解得k1＝4，k2＝－4.把k1＝4代入x2－kx＋4＝0，得x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2；把k2＝－4代入x2－kx＋4＝0，得x2＋4x＋4＝0，解得x1＝x2＝－2.第7讲┃回归教材[点析](1)要判定某个一元二次方程是否有实数解或有几个实数解时，常用一元二次方程根的判别式去判定．(2)见到含有字母的一元二次方程时，在实数范围内首先应有Δ≥0；若字母在二次项系数中，则还应考虑二次项系数是否为0.第7讲┃回归教材中考变式1.[2013·广安]已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A．a＞2B．a＜2C．a＜2且a≠1D．a＜－2C[解析]Δ＝4－4(a－1)＝8－4a＞0，得a＜2.又a－1≠0，∴a＜2且a≠1.故选C.第7讲┃回归教材2.[2011·孝感]已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求k的取值范围；(2)若||x1＋x2＝x1x2－1，求k的值．解：(1)依题意，得Δ≥0即[－2(k－1)]2－4k2≥0，解得k≤12.第7讲┃回归教材(2)解法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.∵k≤12，∴k1＝k2＝1不合题意，舍去．②当x1＋x20时，则有x1＋x2＝－x1x2－1，即2(k－1)＝－k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.∵k≤12，∴k＝－3.综合①、②可知k＝－3.解法二：依题意可知x1＋x2＝2(k－1)．由(1)可知k≤12，∴2(k－1)0，即x1＋x20.∴－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.∵k≤12，∴k＝－3.