第06章 Garch模型分析与应用

181第六章GARCH模型分析与应用[学习目标]¾了解金融市场序列的ARCH过程；¾掌握GARCH模型、EGARCH模型和TGARCH模型的形式及其含义；¾熟悉GARCH类模型的检验与估计；¾掌握GARCH模型在金融数据分析中的应用。本书第二章至第五章讨论的所有模型在本质上都是线性模型，即模型的参数是线性的。然而，经典的线性模型往往假设是时间序列是同方差的，而在现实的金融数据的时间序列中，表现出在不同的时间段，方差是不同的，也就是方差具有时变的特点，另外时间序列之间具有一定的自相关性，这显然不能不能通过经典线性模型进行建模分析。在本章中，我们主要讨论非线性模型，主要介绍自回归条件异方差（ARCH）模型和金融市场波动性建模。ARCH模型（autoregessiveconditonallyheteroscedastic，ARCH），即自回归条件异方差模型，它是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。1982年，R.Engle在研究英国通货膨胀率序列规律时提出ARCH模型，ARCH模型的核心思想是残差项的条件方差依赖于它的前期值的大小。①1986年，Bollerslev在Engle的ARCH模型基础上对方差的表现形式进行了线性扩展，并形成了更为广泛的GARCH模型。后来，该类模型也得到了很大的发展，形成了如EGARCH,IGARCH,GARCH-M等模型。由于GARCH类模型能够较好地描述时间序列的金融时间序列的异方差性问题，并成为金融市场分析中广泛应用的模型。正是Engle提出ARCH模型的巨大贡献，他在2003年获得诺贝尔经济学奖的殊荣。第一节ARCH过程一、金融时间序列的异方差性特征对时间序列而言，常使用ARMA模型拟合其真实数据的生成过程，通过ACF、PACF、信息准则或似然比检验确定ARMA模型的滞后阶数，得到适合的模型。在此有必要指出的，ARMA模型所涉及的时间序列方差不变，也即设定投资者者所面临的市场风险是相同的。然而，在现实金融市场上，许多金融时间序列并没有恒定的均值，大多数序列在呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的波动性。在金融市场中，波动率（volatility）是金融时间序列昀重要的特征之一，因而模拟和预测股票市场的波动性已经成为众多理论和实证研究的重要领域。当前，许多计量经济学研究都用扩展的Box—Jenkins来分析此类时间序列行为。然而，金融市场时间序列存在非平稳性，样本均值并不恒定，有明显的异方差性特征。因此，传统线性结构模型（以及时间序列模型）并不能很好地解释金融数据的重要特征，这包括：（1）尖峰厚尾（Leptokurtosis）：金融资产收益呈现厚尾（fattails）和在均值处呈现过度波峰，即出现过度峰度分布的倾向；（2）波动丛聚性（clustering）或波动集中性（pooling）：金融市场波动往往呈现簇状倾向，即波动的当期水平往往与它昀近的前些时期水平存在正相关关系。波动丛聚性是金融资产收益率序列运用ARCH模型的一个重要特征。①RobertF.Engle,1982,”autoregessiveconditonallyheteroscedasticwithEstimatesoftheVarianceofU.K.Inflation”,Econometrica50,pp987-1008.182（3）杠杆效应（leverageeffects）：指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上升的倾向。为解释金融时间序列数据的上述特性，在此我们应用标准普尔指数(S&P500)和上证指数的日收益率数据进行说明。图6-1说明，标准普尔指数(S&P500)1955-2004年的日收益率分布。样本期内，S&P500收益率0.0318%，标准差为0.9179%。偏度为-0.926286，即收益率呈现左偏特征。峰度为28.00273，远远高于正态分布的峰度3，这说明S&P500收益率序列呈现尖峰和厚尾的特征。JB的正态性检验也证实了这一点，JB统计量为326200.8，说明在极小的水平下，收益率分布显著异于正态分布。图6-2说明，上证指数2000年至2004年的日收益率分布。无论是S&P500还是上证指数，收益率的波动都呈现明显非均质的丛聚性特征。例如S&P500在1974-1976年、1987年、1999-2001年的波动幅度都明显大于其他时期；上证指数在2001年上半年的波动幅度明显大于其他时期。这种现象常见于金融资产收益序列，如何将其参数化（即如何建模？）方法之一就是利用ARCH建模。（a）日收益率的波动-.20-.16-.12-.08-.04.00.04.08196019651970197519801985199019952000183(b)日收益率的统计性描述图6-1：S&P500日收益率波动情况-.08-.04.00.04.08.126.87.07.27.47.67.820002001200220032004ResidualActualFitted(a)上证指数残差图0100020003000400050006000-0.20-0.15-0.10-0.050.000.050.10Series:RETUSSPSample1/4/1955TO6/25/2004Observations12455Mean0.000318Median0.000375Maximum0.090994Minimum-0.204669Std.Dev.0.009179Skewness-0.926286Kurtosis28.00273Jarque-Bera326200.8Probability0.000000HISTOGRAMOFS&P500DAILYRETURNS184024681012141620002001200220032004ConditionalStandardDeviation（（bb））条件方差图图66--22：：上上证证指指数数日日收收益益率率波波动动情情况况二、ARCH过程经典的模型往往假设为同方差的，由于在时间序列，特别是金融数据的时间序列中，表现出在不同的时间段，方差是不同的，也就是方差具有时变的特点，另外时间序列之间具有一定的自相关性。在金融时间序列出现阶段性的大波动时候，假定同方差显然是不恰当的。预测方差的一种是引入一个独立的变量来估计波动性。首先考察昀简单的情况：11tttyxε++=（6.1）其中，1ty+表示金融时间序列变量；1tε+表示方差为2σ的白噪音干扰项；tx表示在t期观测到的独立变量。如果12tttxxx−−===常数，则序列{}ty就是方差恒定的白噪声过程。但是，如果序列{}tx不完全相等，则基于可观测值tx的1ty+的条件方差为221var()tttyxxσ+=（6.2）这里，1ty+的条件方差取决于tx的观测值。也就是说，序列{}tx的引入可以解释序列{}ty波动状况。为应用方便，我们需要将模型（6.2）进行修正，引入系数0a和1a，并估计其对数形式的回归方程：011ln()ln()tttyaaxe−=++（6.3）式中，ln()tteε=。经对数变换后的线性方程（6.3），可以直接用OLS进行估计0a和1a。但是，这种方法185得主要难点在于要为变化的方差假设一个具体的原因，此外，这种方法还使得{}tx会影响到ln()ty的均值。例如，20世纪70年代的PPI的大幅度上涨究竟是石油危机的冲击，货币政策的变动，还是布雷顿森林体系的崩溃？此外，这种方法需要对数据进行转换，使得变换后的数据有恒定的方差。在上述例子中，我们假设序列{}te有恒定的方差，但是若这种假设不成立，则需要对数据进行其它转换。Engle(1982)提出的ARCH模型，正是在不使用特定变量tx或数据转换的情况下，同时对序列的均值和方差进行建模。要理解Engle的方法，首先我们要估计平稳ARCH模型011tttyaayε−=++并预测1ty+，则1ty+的条件均值为101tttEyaay+=+，若我们用这个条件均值去预测1ty+，则预测误差方差为2221011[()]tttttEyaayEεσ++−−==。若序列{}tε的方差不定，就可以用ARMA模型来估计方差持续变动的趋势。例如，若用{}ˆtε表示模型011tttyaayε−=++的残差估计值，那么1ty+的条件方差为：2211011var()[()]()tttttttyyEyaayEε+++=−−=（6.4）现在假设条件方差不定，一个简单的处理方法就是用残差估计值的平方将条件方差建模为AR(q)过程为：2ˆtε2011ˆtaaε−=+222ˆtaε−+2ˆqtqtavε−+++（6.5）其中，tv为白噪声过程。如果1a、2a、qa都等于零，说明残差项的条件方差不存在自相关，则方差估计值就等于常数0a，即20var()taεσ==，从而得到误差的条件方差同方差的情形。否则，ty的条件方差会依照公式（6.5）所示的自回归过程而变化。同样，我们可以用公式（6.5）把1t+期的条件方差预测为：21ˆtEε+201ˆtaaε=+221ˆtaε−+21ˆqtqaε+−++（6.6）因此，类似于式（6.5）的式被称为自回归条件异常差（ARCH）模型。因为公式（3.1）中的残差可用来自一个自回归、一个ARMA模型，或者一个标准回归模型。实际上，公式（6.5）的线性表达式并非昀简洁的，因为{}ty的模型和条件方差可以采用昀大似然法一起估计出来。其中，Engle(1982)提出的乘法条件异方差模型中昀简单的一例为ARCH(1)模型，即：2011tttvaaεε−=+（6.7）其中，tv为白噪声过程，满足21vσ=；tv和1tε−相互独立；0a、1a为常数，且00a，186101a。可见，ARCH(1)模型就是在时刻t的tε的条件方差2tσ依赖于时刻t-1的残差平方的大小，即依赖于21tε−。更一般地，Engle(1982)提出的ARCH模型的高阶ARCH（q）过程为：201qttitiivaaεε−==+∑（6.8）上式中，从1tε−到tqε−的所有冲击都对tε直接起作用，以至于条件方差就像一个q阶自回归过程。在ARCH（q）模型中，若(1,2,,)iaiq=中至少有一个显著的不为零，则称误差项存在着ARCH效应。在ARCH（q）过程中，由于tε是随机的，2tε不可能为负，所以对于{}tε得所有实现值，要求2var()tεσ=2011taaε−=+222taε−+2qtqaε−++为正。为使得协方差平稳。进一步要求方程：21210qqazazaz−−−−=（6.9）的根全部位于单位圆之外。若(1,2,,)iaiq=都非负，则式（6.9）等价于121qaaa+++。可见，Engle(1982)提出ARCH模型的核心思想是：残差项tε的条件方差依赖于它的前期值的大小1tε−。三、GRACH模型Bollerslev（1986）广义自回归条件异方差（GeneralizedARCH,GARCH）模型。GARCH类模型昀早是Engle（1982）提出的ARCH模型，即自回归条件异方差模型。设标的资产时间序列为}{ty,Engle年建立了回归模型ARCH(q)，tttyxβε=+(6.10)其中，yt是因变量，xt是解释变量的向量，β是未知参数的向量,假设εt的在给定)1(−t时间内的信息1−Ωt满足正态分布，εtttNh|~(,)Ω−10，但其条件方差为：2101var()qtttitiihaεαε−−==Ω=+∑(6.11)方程（6.11）表示两部分：一个常数项和前q个时刻关于变化量的信息，用前q个时刻的残差平方表示（ARCH项）。同时，在这个模型中，残差tε存在是以1tε−,2tε−,…,tqε−为条件的187异方差。Bollerslev(1986)扩展了Engle（1982）的原始模型，引入了一种允许条件方差转化为一个ARMA过程的方法。在此，假定误差过程为：tttvhε=其中21vσ=，且hhtitiitiipiq=++−−==∑∑ααεβ0211(6.12)