考点10 导数的应用(单调性、最值、极值)(教师版) 新课标

用心爱心专心12013年新课标数学40个考点总动员考点10导数的应用（单调性、最值、极值）（教师版）【高考再现】热点一利用导数研究函数的单调性1.（2012年高考（辽宁文））函数y=12x2㏑x的单调递减区间为（）A．(1,1]B．(0,1]C．[1,+∞)D．(0,+∞)【答案】B【解析】211ln,,00,02yxxyxyxxxx由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B2.（2012年高考（浙江理））设a＞0，b＞0．A．若2223abab，则a＞bB．若2223abab，则a＜bC．若2223abab，则a＞bD．若2223abab，则a＜b3.（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42fxxaxa(1)求f(x)的单调区间。(2)证明:当0≤x≤1时,()+20fxa。【解析】(1)由题意得2()122fxxa,当0a时,()0fx恒成立,此时()fx的单调递增区间为,.当0a时,()12()()66aafxxx,此时函数()fx的单调递增区间为,66aa.(2)由于01x,当2a时,33()2422442fxaxaxxx.当2a时,333()242(1)244(1)2442fxaxaxxxxx.设3()221,01gxxxx,则233()626()()33gxxxx.用心爱心专心2则有x030,3333,131()gx-0+()gx1减极小值增1所以min343()()1039gxg.当01x时,32210xx.故3()24420fxaxx.4.（2012年高考（新课标理））已知函数()fx满足满足121()(1)(0)2xfxfefxx;(1)求()fx的解析式及单调区间;(2)若21()2fxxaxb,求(1)ab的最大值.用心爱心专心3得:当ln(1)xa时,min()(1)(1)ln(1)0hxaaab22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa令22()ln(0)Fxxxxx;则()(12ln)Fxxx()00,()0FxxeFxxe当xe时,max()2eFx当1,aebe时,(1)ab的最大值为2e用心爱心专心45.（2012年高考（陕西理））设函数()xfxxe,则（）A．1x为()fx的极大值点B．1x为()fx的极小值点C．1x为()fx的极大值点D．1x为()fx的极小值点【答案】D【解析】()(1)xfxxe,令()0,fx得1x,1x-时,()0fx,()xfxxe为减函数;1x-时,()0fx,()xfxxe为增函数,所以1x为()fx的极小值点,选D.6.（2012年高考（重庆理））设函数()fx在R上可导,其导函数为()fx,且函数(1)()yxfx的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（）A．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)fB．函数()fx有极大值(2)f和极小值(1)fC．函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)fD．函数()fx有极大值(2)f和极小值(2)f用心爱心专心57.（2012年高考（重庆文））已知函数3()fxaxbxc在2x处取得极值为16c(1)求a、b的值;(2)若()fx有极大值28,求()fx在[3,3]上的最大值.【解析】::(Ⅰ)因3()fxaxbxc故2()3fxaxb由于()fx在点2x处取得极值故有(2)0(2)16ffc即1208216ababcc,化简得12048abab解得112ab(Ⅱ)由(Ⅰ)知3()12fxxxc,2()312fxx令()0fx,得122,2xx当(,2)x时,()0fx故()fx在(,2)上为增函数;当(2,2)x时,()0fx故()fx在(2,2)上为减函数当(2,)x时()0fx,故()fx在(2,)上为增函数.由此可知()fx在12x处取得极大值(2)16fc,()fx在22x处取得极小值(2)16fc由题设条件知1628c得12c此时(3)921,(3)93fcfc,(2)164fc因此()fx上[3,3]的最小值为(2)4f8.（2012年高考（广东文））设1a,集合0AxRx,223160BxRxaxa,DAB.用心爱心专心6(Ⅰ)求集合D(用区间表示);(Ⅱ)求函数322316fxxaxax在D内的极值点.综上所述,当113a时,0,DA;当13a时,0,11,D;当103a时,120,,Dxx;当0a时,2,Dx.其中13133314aaax,23133314aaax.(Ⅱ)26616fxxaxa,令0fx可得10xax.因为1a,所以0fx有两根1ma和21m,且12mm.①当113a时,0,DA,此时0fx在D内有两根1ma和21m,列表可得x0,aa,1a11,fx+0-0+fx递增极小值递减极大值递增用心爱心专心7所以fx在D内有极大值点1,极小值点a.②当13a时,0,11,D,此时0fx在D内只有一根113ma,列表可得x10,3131,131,fx+0-+fx递增极小值递减递增所以fx在D内只有极小值点a,没有极大值点.③当103a时,120,,Dxx,此时1201axx(可用分析法证明),于是0fx在D内只有一根1ma,列表可得x0,aa1,ax2,xfx+0-+fx递增极小值递减递增所以fx在D内只有极小值点a,没有极大值点.9.（2012年高考（江西文））已知函数2()()xfxaxbxce在0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0ff.(1)求a的取值范围;(2)设()()()gxfxfx,求()gx在0,1上的最大值和最小值.【解析】(1)由(0)1fc,(1)0f1,1cab,则2()[(1)1]xfxaxaxe,2'()((1))xfxaxaxae,依题意须对于任意(0,1)x,用心爱心专心8有()0fx,当0a时,因为二次函数2(1)yaxaxa的图像开口向上,而(0)0fa,所以须(1)(1)0fae,即01a,当1a时,对任意(0,1)x,有2()(1)0xfxxe,符合条件;当0a时,对任意(0,1)x,()0xfxxe,()fx符合要求,当0a时,因(0)0fa,()fx不符合条件,故a的取值范围为01a.(2)因()(21),()(21)xxgxaxegxaxae当0a时,()0xgxe,()gx在0x上取得最小值(0)1g,在1x上取得最大值(1)ge;当1a时,对于任意(0,1)x,有()20xgxxe,()gx在0x上取得最大值(0)2g,在1x上取得最小值(1)0g;当01a时,由1()002agxxa,10.（2012年高考（江苏））若函数)(xfy在0xx处取得极大值或极小值,则称0x为函数)(xfy的极值点.已知ab，是实数,1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函数()gx的导函数()()2gxfx,求()gx的极值点;(3)设()(())hxffxc,其中[22]c，,求函数()yhx的零点个数.【解析】(1)由32()fxxaxbx,得2()32f'xxaxb.用心爱心专心9∵1和1是函数32()fxxaxbx的两个极值点,∴(1)32=0f'ab,(1)32=0f'ab,解得==3ab0，.(3)令()=fxt,则()()hxftc.先讨论关于x的方程()=fxd根的情况:2,2d当=2d时,由(2)可知,()=2fx的两个不同的根为I和一2,注意到()fx是奇函数,∴()=2fx的两个不同的根为一和2.当2d时,∵(1)=(2)=20fdfdd,(1)=(2)=20fdfdd,∴一2,-1,1,2都不是()=fxd的根.由(1)知()=311f'xxx.①当2x，时,()0f'x,于是()fx是单调增函数,从而()(2)=2fxf.此时()=fxd在2，无实根.②当12x，时.()0f'x,于是()fx是单调增函数.又∵(1)0fd,(2)0fd,=()yfxd的图象不间断,∴()=fxd在(1,2)内有唯一实根.同理,()=fxd在(一2,一I)内有唯一实根.③当11x，时,()0f'x,于是()fx是单调减两数.又∵(1)0fd,(1)0fd,=()yfxd的图象不间断,∴()=fxd在(一1,1)内有唯一实根.因此,当=2d时,()=fxd有两个不同的根12xx，满足12=1=2xx，;当2d时()=fxd有三个不同的根315xxx，，,满足2=3,4,5ixi，.现考虑函数()yhx的零点:(i)当=2c时,()=ftc有两个根12tt，,满足12==2tt1，.用心爱心专心10而1()=fxt有三个不同的根,2()=fxt有两个不同的根,故()yhx有5个零点.(11)当2c时,()=ftc有三个不同的根345ttt，，,满足2=3,4,5iti，.而=3,()4,=5ifxti有三个不同的根,故()yhx有9个零点.综上所述,当=2c时,函数()yhx有5个零点;当2c时,函数()yhx有9个零点.11.（2012年高考（湖南理））已知函数()fx=axex,其中a≠0.(1)若对一切x∈R,()fx≥1恒成立,求a的取值集合.(2)在函数()fx的图像上取定两点11(,())Axfx,22(,())Bxfx12()xx,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使0()fxk成立?若存在,求0x的取值范围;若不存在,请说明理由.(Ⅱ)由题意知,21212121()()1.axaxfxfxeekxxxx用心爱心专心11令2121()(),axaxaxeexfxkaexx则【方法总结】1.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小用心爱心专心12值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.热点三利用导数研究综合问题12.（2012年高考（