25.3.1 解直角三角形及应用(第一课时)

三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；锐角之间的关系∠A＋∠B＝90º边角之间的关系（锐角三角函数）tanA＝absinA＝ac1、cosA＝bcＡＣＢabc2、△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，c=10cm，则a=________,b=________,∠B=_______.(2)若∠A=40，c=10cm,,则由sinA=a/c,可得a=___________=__________,由cosA=b/c得，b=__________=___________5cmcm3560°csinA6.428cmccosA7.660cm90RtABCC如图，共有六个元素（三条边，三个角），其中，那么其余五个元素（三边a、b、c，两锐角A、B)之间有怎样的关系呢？如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。定义：在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。（1）三边之间的关系22;bc2a(2)锐角之间的关系;A+B=90(3)边角之间的关系,cos,tanbaAAcbasinA=c'190,426,287.4RtABCCBc例在中，解这个直角三角形。''904264754.A解：cos,aBc由得cos287.40.7420213.3acB,bc由sinB=得sin287.40.6704192.7bcB1、下列条件不能解直角三角形的是（）A、已知两直角边B、已知斜边和一直角边C、已知两锐角D、已知一锐角和任意一边2、在Rt△ABC中，∠C=90°,由下列条件解直角三角形。（1）已知a=2,b=3(2)已知b=1,c=2(3)已知b=4,∠B=6°(4)∠A=50°,c=23、在△ABC中，∠C=90°,sinB=4/5,AB=20,求AC、BC的值交流平台☞（一）已知两边解直角三角形1.在Rt△ABC中，∠C=90°⑴已知a,b,则c=______,由___________求出∠A,∠B=___________。⑵已知a,c,则b=______,由___________求出∠A,∠B=___________。⑶已知b,c,则a=______,由___________求出∠A,∠B=___________。2.总结已知两边解直角三角形的方法，与同伴交流。22batanA=ba900-∠ABACacbsinA=ca900-∠A22aCcb900-∠AcosA=22bC同步练习☞1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=5,b=5,解这个直角三角形。3交流平台☞（二）已知一条边和一个锐角解直角三角形1.在Rt△ABC中，∠C=90°⑴已知c,∠A,则∠B=______,由_______得a=______,由_______得b=______。⑵已知b,∠A,则∠B=______,由_______得a=______,由_______得c=______。⑶已知a,∠A,则∠B=______,由_______得b=______,由_______得c=______。2.总结已知一条边和一个锐角解直角三角形的方法，与同伴交流。tanA=ba900-∠Ab.tanAcosA=cbcosAb900-∠AsinA=catanA=batanAasinAa900-∠Ac.sinAcosA=cbc.cosAsinA=caBACacb同步练习☞2.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A=70°,c=8,解这个直角三角形。255,20,30..(0.1)ABCABCAbcmccmScm例2在中，求三角形的面积精确到ACD解：如图，作AB上的高CD.在Rt中,CD=ACsinA=bsinA,1122ABCSABCDbcsinA.55,20,30112030sin5522ABCAbcmccmS当时，有bcsinA=2120300.81922245.8()cm题型3解斜三角形1.如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积（结果可保留根号）．2.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？解：过C作CD⊥AB于D，设CD=x．在Rt△ACD中，cot60°=ADCD3在Rt△BCD中，BD=CD=x．∴33x+x=8．解得x=4（3-）．33=16（3-）=48-16．，33∴AD=x．12123AB·CD=×8×4（3-∴S△ABC=）2．解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知：AB=9×26=3，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°．∴PC=BC．在Rt△APC中，PC3．∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．3PCPCPCACABBCPCtan30°=，33333,32PCPCPC即=，本节课的重要内容是解直角三角形的有关知识，解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能的使用原题数据和避免做除法运算。