图与网络分析(4课时)起讫点不同最短路最大流问题

运筹学(OperationsResearch)Chapter6图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)图的基本概念与模型树与图的最小树最短路问题网络的最大流本章主要内容：Page3近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过Königsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。这就是著名的“哥尼斯堡7桥”难题。Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。图的基本概念与模型Königsberg桥对应的图Page4图的基本概念与模型图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。一般情况下图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。图的定义：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点和边的集合，记作：},{EVG其中:V——点集E——边集※图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以及哪些点之间有连线。Page5图的基本概念与模型(v1)赵(v2)钱孙(v3)李(v4)周(v5)吴(v6)陈(v7)e2e1e3e4e5(v1)赵(v2)钱(v3)孙(v4)李(v5)周(v6)吴(v7)陈e2e1e3e4e5可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表示。Page6图的基本概念与模型定义:图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1];e2=[v1,v2];v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5端点,关联边,相邻若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是边e的端点，反之称边e为点vi或vj的关联边。若点vi、vj与同一条边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具有公共的端点，称边ei和ej相邻。Page7图的基本概念与模型环,多重边,简单图如果边e的两个端点相重，称该边为环。如右图中边e1为环。如果两个点之间多于一条，称为多重边，如右图中的e4和e5，对无环、无多重边的图称作简单图。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5Page8图的基本概念与模型次，奇点，偶点，孤立点与某一个点vi相关联的边的数目称为点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。右图中d(v1)＝４,d(v3)=5,d(v5)=1。次为奇数的点称作奇点，次为偶数的点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，次为0的点称作孤立点。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5图的次:一个图的次等于各点的次之和。Page9图的基本概念与模型链，圈，连通图图中某些点和边的交替序列，若其中各边互不相同，且对任意vi,t-1和vit均相邻称为链。用μ表示：v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5},,,,,{110kkvevev起点与终点重合的链称作圈。如果每一对顶点之间至少存在一条链，称这样的图为连通图，否则称图不连通。Page10图的基本概念与模型子图，部分图(支撑子图)图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有称G1是G2的一个子图。若有，则称G1是G2的一个部分图(支撑子图)。2121EEVV和2121EEVV，＝v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5v3e4e8e5e6v2v4v5v3e7e4e8e6e2e3v1v2v4v5(a)(b)（G图）Page11图的基本概念与模型网络（赋权图）设图G＝（V，E），对G的每一条边(vi,vj)相应赋予数量指标wij，wij称为边(vi,vj)的权,赋予权的图G称为网络(或赋权图）。权可以代表距离、费用、通过能力(容量)等等。端点无序的赋权图称为无向网络，端点有序的赋权图称为有向网络。①②③④⑤⑥910201571419256Page12图的基本概念与模型出次与入次有向图中，以vi为始点的边数称为点vi的出次，用d+(vi)表示；以vi为终点的边数称为点vi的入次，用表示d-(vi)；vi点的出次和入次之和就是该点的次。※有向图中，所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。Page13图的基本概念与模型图的模型应用例6.1有甲,乙,丙,丁,戊,己6名运动员报名参加A,B,C,D,E,F6个项目的比赛。下表中打√的是各运动员报告参加的比赛项目。问6个项目的比赛顺序应如何安排，做到每名运动员都不连续地参加两项比赛。ABCDEF甲√√乙√√√丙√√丁√√戊√√√己√√√Page14图的基本概念与模型解：用图来建模。把比赛项目作为研究对象，用点表示。如果2个项目有同一名运动员参加，在代表这两个项目的点之间连一条线，可得下图。ABCDEF在图中找到一个点序列，使得依次排列的两点不相邻，即能满足要求。如：1)A,C,B,F,E,D2)D,E,F,B,C,APage15图的基本概念与模型一个班级的学生共计选修A、B、C、D、E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A，一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一个考试日程表。思考题Page16图的基本概念与模型思考题解答：以每门课程为一个顶点，共同被选修的课程之间用边相连，得图，按题意，相邻顶点对应课程不能连续考试，不相邻顶点对应课程允许连续考试，因此，作图的补图，问题是在图中寻找一条哈密顿道路，如C—E—A—F—D—B，就是一个符合要求的考试课程表。Page17图的基本概念与模型AFEDCBPage18图的基本概念与模型AFEDCBPage19图的基本概念与模型图的基本性质：定理1任何图中，顶点次数之和等于所有边数的2倍。定理2任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合。由定理1可得：mvdvdvdVvVvVv2)()()(212m为偶数，且偶点的次之和也为偶数，所以必为偶数，即奇数点的个数必为偶数。2)(Vvvd1)(VvvdPage20图的基本概念与模型图的矩阵描述：如何在计算机中存储一个图呢？现在已有很多存储的方法，但最基本的方法就是采用矩阵来表示一个图，图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有：邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。1.邻接矩阵对于图G=（V，E），|V|=n，|E|=m，有nn阶方矩阵A=(aij)nn，其中其它之间有关联边时与当且仅档0vv1jiijaPage21图的基本概念与模型v5v1v2v3v4v6433225643701010110100101011110101000110111101065432166654321vvvvvvAvvvvvv例6.2下图所表示的图可以构造邻接矩阵A如下Page22对于赋权图G=(V,E),其中边有权,构造矩阵B=(bij)nn其中：图的基本概念与模型2.关联矩阵对于图G=(V,E),|V|=n,|E|=m,有mn阶矩阵M=(mij)mn，其中:其他的一个端点是边当且仅当的两个端点是边当且仅当0ev1ev2jijiijm3.权矩阵),(jivvjiwEvvEvvwbjijijiji),(0),(Page23图的基本概念与模型101000000000110010000000010001110000000000001001001111000000000000001100000000000111000100110000v1v2v3v4v5v6v7v8e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11e12v1v2v3v5v8v7e1e2e3e4e6e5e7e9e12e10e11e8v6v4例6.3下图所表示的图可以构造邻接矩阵M如下:M=（mij）=Page24图的基本概念与模型654321654321030303302004020576305020007204346040vvvvvvvvvvvvBv5v1v2v3v4v64332256437例6.4下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:Page25树与图的最小树树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领域应用极为广泛。例6.2乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如下图所示。ABCDEFGH运动员Page26树与图的最小树例6.3某企业的组织机构图也可用树图表示。厂长人事科财务科总工程师生产副厂长经营副厂长开发科技术科生产科设备科供应科销售科检验科动力科Page27树与图的最小树树：无圈的连通图即为树性质1：任何树中必存在次为1的点。性质2：n个顶点的树必有n-1条边。性质3：树中任意两个顶点之间，恰有且仅有一条链。性质4：树连通，但去掉任一条边，必变为不连通。性质5：树无回圈，但不相邻的两个点之间加一条边，恰得到一个圈。v1v2v3v4v5v6Page28树与图的最小树图的最小部分树(支撑树)如果G2是G1的部分图，又是树图，则称G2是G1的部分树（或支撑树）。树图的各条边称为树枝，一般图G1含有多个部分树，其中树枝总长最小的部分树，称为该图的最小部分树（或最小支撑树）。v1v2v3v4v5v1v2v3v4v5G1G2Page29树与图的最小树abcfedhgbfedPage30树与图的最小树abcfedhgbfdgPage31树与图的最小树bcedabcfedhgPage32树与图的最小树abchabcfedhgPage33树与图的最小树afdgabcfedhgPage34树与图的最小树求树的方法：破圈法和避圈法破圈法Page35树与图的最小树部分树Page36树与图的最小树避圈法v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v5Page37树与图的最小树赋权图中求最小树的方法：破圈法和避圈法破圈法：任取一圈，去掉圈中最长边，直到无圈。5v1v2v3v4v5v6843752618v1v2v3v4v5v643521边数＝n-1=5Page38树与图的最小树v1v2v3v4v5v643521得到最小树：MinC(T)=15Page39树与图的最小树避圈法:去掉G中所有边，得到n个孤立点；然后加边。加边的原则为：从最短边开始添加，加边的过程中不能形成圈，直到点点连通(即:n-1条边)。5v1v2v3v4v5v6843752618Page40树与图的最小树v1v2v3v4v5v6435215v1v2v3v4v5v6843752618MinC(T)=15Page41树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v620159162532817412336练习：应用破圈法求最小树Page42树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v620159162532817412336Page43树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v6201591625328174123Page44树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v6201591625328174123Page45树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v61591625328174123Page46树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v61591625328174123Page47树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v691625328174123Page48树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v691625328174123Page49树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v6925328174123Page50树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v6925328174123Page51树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v69328174123Page52树与图的最小树v1v7v4v3v2v5v69328174123Page53树与图的最小树v