等差数列的性质

课前探究学习课堂讲练互动【课标要求】1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2．理解等差数列的性质．3．掌握等差数列的性质及其应用．【核心扫描】1．等差数列的性质及证明．(重点)2．运用等差数列定义及性质解题．(难点)第2课时等差数列的性质及其应用课前探究学习课堂讲练互动等差数列的项与序号的关系自学导引两项关系多项关系通项公式的推广：an＝am＋_______(m，n∈N*)项的运算性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则_______＝ap＋aq1．(n－m)dam＋an课前探究学习课堂讲练互动：在等差数列{an}中，如果m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)，那么am＋an＝2aw是否成立？反过来呢？提示：若m＋n＝2w(m，n，w∈N＋)，则am＋an＝[a1＋(m－1)d]＋[a1＋(n－1)d]＝2[a1＋(w－1)d]＝2aw，显然成立；在等差数列{an}中，若am＋an＝2aw，不一定有m＋n＝2w，如常数列．＝2a1＋12m＋n－2d课前探究学习课堂讲练互动等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝……(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有(3){an}的公差为d，则d0⇔{an}为递增数列；d0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．2．数列结论{c＋an}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·an}公差为cd的等差数列(c为任一常数){an＋an＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pan＋qbn}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)课前探究学习课堂讲练互动等差数列的公差与斜率的关系当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立．(2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率．如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d，名师点睛(1)一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率(2)k＝fx2－fx1x2－x1(x1≠x2)．1．类比直线方程的斜率公式得d＝an－amn－m.课前探究学习课堂讲练互动等差数列的“子数列”的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列；(4)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化．2．课前探究学习课堂讲练互动题型一等差数列性质的应用(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．[思路探索]分析题目，可利用等差数列性质，也可利用通项公式求解．【例1】(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.课前探究学习课堂讲练互动解(1)法一根据等差数列性质a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝13，∴a4＋a8＝2a6＝23.法二根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝13.∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝23.课前探究学习课堂讲练互动(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.法一运用了等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算属于通性通法．两种方法都运用了整体代换与方程的思想．课前探究学习课堂讲练互动在等差数列{an}中：(1)若a3＝5，则a1＋2a4＝________；(2)若a15＝8，a60＝20，则a75＝________.解析(1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.(2)法一设首项为a1，公差为d.∵a15＝8，a60＝20，【变式1】a1＋14d＝8，a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.故a75＝a1＋74d＝6415＋74×415＝24.课前探究学习课堂讲练互动法三∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，设公差为d，则a15为首项，a60为第4项．∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，∴d＝4.从而a75＝a60＋d＝20＋4＝24.答案(1)15(2)24法二∵a60＝a15＋(60－15)d∴d＝20－860－15＝415，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24.课前探究学习课堂讲练互动(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[思路探索](1)根据三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；(2)四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．题型二等差数列的设法与求解【例2】课前探究学习课堂讲练互动解(1)法一设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d.依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.法二设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)法一设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，课前探究学习课堂讲练互动即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d0，所以d＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得1－32d1＋32d＝－8，即1－94d2＝－8，课前探究学习课堂讲练互动利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．课前探究学习课堂讲练互动已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解设此四数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.【变式2】由题设知：4a＝26，a－da＋d＝40，解之得a＝132，d＝32或a＝132，d＝－32.故这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.课前探究学习课堂讲练互动题型三由递推关系式构造等差数列求通项(1)求证：数列{bn}为等差数列．(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．【例3】已知数列{an}满足a1＝15，且当n＞1，n∈N*时，有an－1an＝2an－1＋11－2an，设bn＝1an，n∈N*.[思路探索]转化已知关系式为1－2anan＝2an－1＋1an－1，拆分可得1an－1an－1＝4.课前探究学习课堂讲练互动(1)证明当n＞1，n∈N*时，an－1an＝2an－1＋11－2an⇔1－2anan＝2an－1＋1an－1⇔1an－2＝2＋1an－1⇔1an－1an－1＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝1a1＝5.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.∴an＝1bn＝14n＋1，n∈N*.∴a1＝15，a2＝19，∴a1a2＝145.令an＝14n＋1＝145，∴n＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．课前探究学习课堂讲练互动已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列求通项，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力．课前探究学习课堂讲练互动(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．解(1)(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.(2)由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.【变式3】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.课前探究学习课堂讲练互动【例4】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．题型四等差数列的实际应用课前探究学习课堂讲练互动请您根据提供的信息说明，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模最大？请说明理由．审题指导本题为图表信息题，综合考查了等差数列的知识和等差数列的函数特征．[规范解答]由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{an}，公差为d1，且a1＝1，a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为d2，且b1＝30，b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn＝anbn.(2分)课前探究学习课堂讲练互动所以c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2.(6分)(2)c6＝a6b6＝2×10＝20c1＝a1b1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了．(8分)(1)由a1＝1，a6＝2，得a1＝1，a1＋5d1＝2，∴a1＝1d1＝0.2⇒a2＝1.2；(4分)由b1＝30，b6＝10，得b1＝30，b1＋5d2＝10，∴b1＝30d2＝－4⇒b2＝26.课前探究学习课堂讲练互动(3)∵an＝1＋(n－1)×0.2＝0.2n＋0.8，bn＝30＋(n－1)×(－4)＝－4n＋34(1≤n≤6)，∴cn＝anbn＝(0.2n＋0.8)(－4n＋34)＝－0.8n2＋3.6n＋27.2(1≤n≤6)．(10分)所以(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大．(12分)∵对称轴为n＝94，所以当n＝2时，cn最大．(11分)课前探究学习课堂讲练互动【题后反思】本题可以按照解析几何中