2018年高考数学压轴题(教师版(文))

12018年高考数学30道压轴题训练(教师版)1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点(,)0Fc（0c）的准线l与x轴相交于点A，2OFFA，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OPOQ，求直线PQ的方程；1．（1）解：由题意，可设椭圆的方程为()222122xyaa。由已知得,().22222acaccc解得,62ac所以椭圆的方程为22162xy，离心率63e。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为()3ykx。由方程组,()221623xyykx得()222231182760kxkxk，依题意()212230k，得6633k。设(,),(,)1122PxyQxy，则21221831kxxk，①212227631kxxk。②由直线PQ的方程得(),()112233ykxykx。于是()()[()]22121212123339yykxxkxxxx。③∵0OPOQ，∴12120xxyy。④由①②③④得251k，从而(,)566533k。所以直线PQ的方程为530xy或530xy2．已知函数)(xf对任意实数x都有1)()1(xfxf，且当]2,0[x时，2|1|)(xxf。（1）)](22,2[Zkkkx时，求)(xf的表达式。（2）证明)(xf是偶函数。（3）试问方程01log)(4xxf是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。2．①f(x)=12kx(2k≦x≦2k+2,k∈Z)②略⑶方程在[1，4]上有4个实根3．如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：1)3(22yx。（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。3．①x2=4y②x1x2=-4⑶P(±2,1)SMIN=74．以椭圆222yax＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.4．解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1设BC∶y＝kx＋1（k＞0则AB∶y＝－k1x＋1把BC是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0108642-2-4-6-8-10-15-10-551015xCyXOF3∴|BC|＝2222121kakak，同理|AB|＝222221akak由|AB|＝|BC|k3－a2k2＋ka2－1＝0（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a＜3由Δ＝0，得a＝3，此时，k＝1故，由Δ≤0，即1＜a≤3由Δ＞0即a＞3时有三解5．已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.（Ⅰ）求证：f（x）及g（x（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.5．解：依题意，知a、b≠0∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0∴a＞0且c＜0（Ⅰ）令f（x）＝g（x得ax2＋2bx＋c＝0.（*Δ＝4（b2－ac）∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0∴f（x）、g（x）相交于相异两点（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*|A1B1|2＝22224)(444aaccaaacb2224()acaca24()1(**)ccaa4∵020abcacab，而a＞0，∴2ca∵020abcaccb，∴12ca∴122ca∴4［（ac）2＋ac＋1］∈（3，12∴|A1B1|∈（3，23）6．已知过函数f（x）=123axx的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；（3）令132txxxfxg。是否存在一个实数t，使得当]1,0(x时，g（x）有最大值1？6、解：（1）xf'=axx232依题意得k=1'f=3+2a=－3，∴a=－31323xxxf，把B（1，b）代入得b=11f∴a=－3，b=－1（2）令xf'=3x2－6x=0得x=0或x=2∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3f（－1）=－3，f（4）=17∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987∴A≥2004。（1）已知g（x）=－txxtxxxx32231313∴txxg2'3∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，①当t＞3时，t－3x2＞0，0'xg即5∴g（x）在]1.0(上为增函数，g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）②当0≤t≤3时,txxg2'3令xg'=0,得x=3t列表如下:x（0,3t）3t]1,3(txg'＋0－g（x）↗极大值↘g（x）在x=3t处取最大值－33t＋t3t=1∴t=3427=2233＜3t3∴x=3t＜1③当t＜0时，txxg2'3＜0，∴g（x）在]1.0(上为减函数，∴g（x）在]1.0(上为增函数，∴存在一个a=2233，使g（x）在]1.0(上有最大值1。7．已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱PH︱是2和PNPM的等比中项。（1）求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。67、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,0,xPH,PM=（－2－x,－y）PN=（2－x,－y）∴PM·PN=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=224yxxPH由题意得∣PH∣2=2·PM·PN即22242yxx即14822yx，所求点P的轨迹为椭圆（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣双曲线的C实轴长2a=10MEQEQMQNQM（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为10所以，双曲线C的实半轴长a=210又23,221222acbNMc∴双曲线C的方程式为1232522yx8．已知数列{an}满足aaaabaaaaaaannnnnn设,2),0(32211（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与87的大小，并证明你的结论.8.（1）121nnb7（2）08121116181)21212121161(81)212121(872441684nS9．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线xy对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线1mxy与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，21FF为双曲线C的左，右两个焦点，从1F引21QFF的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22yx相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分故设双曲线C的方程为12222ayax．又双曲线C的一个焦点为)0,2(∴222a，12a．∴双曲线C的方程为122yx．………………………………………………4分（Ⅱ）由1122yxmxy得022)1(22mxxm．令22)1()(22mxxmxf直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(上有两个不等实根．因此012012022mmm解得21m．又AB中点为)11,1(22mmm，∴直线l的方程为)2(2212xmmy．………………………………6分令x=0，得817)41(2222222mmmb．∵)2,1(m，8∴)1,22(817)41(22m∴),2()22,(b．………………………………………………8分（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长2QF到T，使||||1QFQT，若Q在双曲线的左支上，则在2QF上取一点T，使||||1QFQT．根据双曲线的定义2||2TF，所以点T在以)0,2(2F为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是)0(4)2(22xyx①…………………………………………10分由于点N是线段TF1的中点，设),(yxN，),(TTyxT．则222TTyyxx，即yyxxTT222．代入①并整理得点N的轨迹方程为122yx．)22(x………………12分10．)(xf对任意Rx都有.21)1()(xfxf（Ⅰ）求)21(f和)()1()1(Nnnnfnf的值．（Ⅱ）数列na满足：na=)0(f+)1()1()2()1(fnnfnfnf，数列na是等差数列吗？请给予证明；试比较nT与nS的大小．10解：（Ⅰ）因为21)21()21()211()21(ffff．所以41)21(f．……2分令nx1，得21)11()1(nfnf，即21)1()1(nnfnf．……………4分（Ⅱ）)1()1()1()0(fnnfnffan又)0()1()1()1(fnfnnffan………………5分两式相加21)]0()1([)]1()1([)]1()0([2nffnnfnfffan．所以Nnnan,41，………………7分又41414111nnaann．故数列}{na是等差数列．………………9分9（Ⅲ）nabnn414422221nnbbbT)131211(16222n])1(13212111[16nn………………10分)]111()3121()211(1[16nn………………12分nSnn1632)12(16所以nnST……………………………………………………………………14分11．如图，设OA、OB是过抛物线y2＝2px顶点O的两条弦，且OA→·OB→＝0，求以OA、OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹.11．设直线OA的斜率为k，显然k存在且不等于0则OA的方程为y＝kx由y＝kxy2＝2px解得A(2pk2，2pk)……4分又由，知OA⊥OB，所以OB的方程为y＝－1kx由y＝－1kxy2＝2px解得B(2pk2，－2pk)……4分从而OA的中点为A'(pk2，pk)，OB的中点为B'(pk2，－pk)……6分所以，以OA、OB为直径的圆的方程分别为x2＋y2－2pxk2－2pyk＝0……①x2＋y2－2pk2x＋2p