2018年高考数学真题较难题汇编

2018年普通高等学校招生全国统一考试1.已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则()A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ12.已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2−4e•b+3=0，则|a−b|的最小值是()A.√3−1B.√3+1C.2D.2−√33.已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)，若a11，则()A.a1a3，a2a4B.a1a3，a2a4C.a1a3，a2a4D.a1a3，a2a44.已知λ∈R，函数f(x)={x−4，x≥λx2−4x+3，xλ，当λ=2时，不等式f(x)0的解集是_____________________，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________________________5.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成______________________个没有重复数字的四位数(用数字作答)6.已知点P(0，1)，椭圆x24+y2=m(m1)上两点A，B满足AP⃗⃗⃗⃗⃗=2PB⃗⃗⃗⃗⃗，则当m=____________________时，点B横坐标的绝对值最大7.(15分)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴(2)若P是半椭圆x2+y24=1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围8.(15分)已知函数f(x)=√x−lnx(1)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)8−8ln2(2)若a≤3−4ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）9．函数()fx满足(4)()()fxfxxR，且在区间(2,2]上，cos,02,2()1||,20,2xxfxxx-则((15))ff的值为▲．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲．11．若函数32()21()fxxaxaR在(0,)内有且只有一个零点，则()fx在[1,1]上的最大值与最小值的和为▲．12．在平面直角坐标系xOy中，A为直线:2lyx上在第一象限内的点，(5,0)B，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0ABCD，则点A的横坐标为▲．PMBAOyx13．在ABC△中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，120ABC，ABC的平分线交AC于点D，且1BD，则4ac的最小值为▲．14．已知集合*{|21,}AxxnnN，*{|2,}nBxxnN．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}na．记nS为数列{}na的前n项和，则使得112nnSa成立的n的最小值为▲．17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,AB均在线段MN上，,CD均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)FF，圆O的直径为12FF．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于,AB两点．若OAB△的面积为267，求直线l的方程．19．（本小题满分16分）记(),()fxgx分别为函数(),()fxgx的导函数．若存在0xR，满足00()()fxgx且00()()fxgx，则称0x为函数()fx与()gx的一个“S点”．%网（1）证明：函数()fxx与2()22gxxx不存在“S点”；（2）若函数2()1fxax与()lngxx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数2()fxxa，e()xbgxx．对任意0a，判断是否存在0b，使函数()fx与()gx在区间(0,)内存在“S点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}na是首项为1a，公差为d的等差数列，{}nb是首项为，公比为q的等比数列．（1）设110,1,2abq，若1||nnabb对1,2,3,4n均成立，求d的取值范围；（2）若*110,,(1,2]mabmqN，证明：存在dR，使得1||nnabb对2,3,,1nm均成立，并求的取值范围（用1,,bmq表示）．2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)8.在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（2，0），E，F是y轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{an}的通项公式为an=qⁿ+1（n∈N*），前n项和为Sn。若，则q=____________11.已知常数a0，函数的图像经过点、，若，则a=__________12.已知实数x₁、x₂、y₁、y₂满足：，，，则+的最大值为__________16.设D是含数1的有限实数集，是定义在D上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）（A）（B）（C）（D）020.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数t2，在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线：，l与x轴交于点A，与交于点B，P、Q分别是曲线与线段AB上的动点。（1）用t为表示点B到点F的距离；EFBFAE1Sn1lim2nna222()(2)fxax65pp，15Qq，236pqpq²²1xy₁₁²²1xy₂₂212xxyy₁₂₁12xy∣₁₁∣12xy∣₂₂∣fx（）fx（）π61f（）33233²8yx00xty（≦≦，≧）（2）设t=3，，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)给定无穷数列{an}，若无穷数列{bn}满足：对任意，都有，则称“接近”。（1）设{an}是首项为1，公比为的等比数列，，，判断数列是否与接近，并说明理由；（2）设数列{an}的前四项为：a₁=1，a₂=2，a₃=4，𝑎4=8，{bn}是一个与{an}接近的数列，记集合M={x|x=bi，i=1,2,3,4},求M中元素的个数m；（3）已知{an}是公差为d的等差数列，若存在数列{bn}满足：{bn}与{an}接近，且在b₂-b₁，b₃-b₂，…b201-b200中至少有100个为正数，求d的取值范围。2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（A）32f（B）322f（C）1252f（D）1272f（7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线20xmy的距离，当θ，m变化时，d的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（8）设集合{(,)|1,4,2},Axyxyaxyxay则（A）对任意实数a，(2,1)A（B）对任意实数a，（2，1）A（C）当且仅当a0时，（2，1）A（D）当且仅当32a时，（2，1）A（13）能说明“若f（x）f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．（14）已知椭圆22221(0)xyMabab：，双曲线22221xyNmn：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交2FQ∣∣*nN1||nnba{}{}nnba与2111nnba*nN{}nb{}na点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．（18）（本小题13分）设函数()fx=[2(41)43axaxa]ex．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，(1)f）处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若()fx在x=2处取得极小值，求a的取值范围．（19）（本小题14分）已知抛物线C：2y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值．（20）（本小题14分）设n为正整数，集合A=12{|(,,,),{0,1},1,2,,}nnttttkn．对于集合A中的任意元素12(,,,)nxxx和12(,,,)nyyy，记M（，）=111122221[(||)(||)(||)]2nnnnxyxyxyxyxyxy．（Ⅰ）当n=3时，若(1,1,0)，(0,1,1)，求M（,）和M（,）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素,，当,相同时，M（，）是奇数；当,不同时，M（，）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素,，M（，）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）w（7）在平面坐标系中，,,,ABCDEFGH是圆221xy上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若tancossin，则P所在的圆弧是（A）AB（B）CD（C）EF（D）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},Axyxyaxyxay则（A）对任意实数a，(2,1)A（B）对任意实数a，（2,1）A（C）当且仅当a0时,（2,1）A（D）当且仅当32a时,（2,1）A（14）若ABC△的面积为2223()4acb,且∠C为钝角，则∠B=_________；ca的取值范围是_________.（19）（本小题13分）设函数2()[(31)32]exfxaxaxa.（Ⅰ）若曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若()fx在1x处取得极小值，求a的取值范围.（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyMabab