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学而思学而思学而思学而思小学奥数知识点梳理小学奥数知识点梳理小学奥数知识点梳理小学奥数知识点梳理学而思教材编写组学而思教材编写组学而思教材编写组学而思教材编写组侍春雷侍春雷侍春雷侍春雷前言前言前言前言小学奥数知识点梳理小学奥数知识点梳理小学奥数知识点梳理小学奥数知识点梳理，，，，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，，，，不过不过不过不过，，，，对于知识点对于知识点对于知识点对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，，，，为此为此为此为此，，，，本人参考了单本人参考了单本人参考了单本人参考了单尊主编的尊主编的尊主编的尊主编的《《《《小学数学奥小学数学奥小学数学奥小学数学奥林匹克林匹克林匹克林匹克》、》、》、》、中国少年报社主编的中国少年报社主编的中国少年报社主编的中国少年报社主编的《《《《华杯赛教材华杯赛教材华杯赛教材华杯赛教材》、《》、《》、《》、《华杯赛集训指南华杯赛集训指南华杯赛集训指南华杯赛集训指南》》》》以及学而思的以及学而思的以及学而思的以及学而思的《《《《寒假班寒假班寒假班寒假班系列教材系列教材系列教材系列教材》》》》和华罗庚学校的教材共五套教材和华罗庚学校的教材共五套教材和华罗庚学校的教材共五套教材和华罗庚学校的教材共五套教材，，，，力图打破原有体系力图打破原有体系力图打破原有体系力图打破原有体系，，，，重新重新重新重新整合整合整合整合划分划分划分划分，，，，构建十构建十构建十构建十七块体系七块体系七块体系七块体系（（（（其第十七为解题方法汇集其第十七为解题方法汇集其第十七为解题方法汇集其第十七为解题方法汇集，，，，可补充相应杂题可补充相应杂题可补充相应杂题可补充相应杂题），），），），原则上原则上原则上原则上简明扼要简明扼要简明扼要简明扼要，，，，努力刻画小学努力刻画小学努力刻画小学努力刻画小学奥数知识的主树干奥数知识的主树干奥数知识的主树干奥数知识的主树干。。。。概述概述概述概述一一一一、、、、计算计算计算计算1．．．．四则混合运算繁分数四则混合运算繁分数四则混合运算繁分数四则混合运算繁分数⑴⑴⑴⑴运算顺序运算顺序运算顺序运算顺序⑵⑵⑵⑵分数分数分数分数、、、、小数混合运算技巧小数混合运算技巧小数混合运算技巧小数混合运算技巧一般而言一般而言一般而言一般而言：：：：①①①①加减运算中加减运算中加减运算中加减运算中，，，，能化成有限小数的统一以小数形式能化成有限小数的统一以小数形式能化成有限小数的统一以小数形式能化成有限小数的统一以小数形式；；；；②②②②乘除运算中乘除运算中乘除运算中乘除运算中，，，，统一以分数形式统一以分数形式统一以分数形式统一以分数形式。。。。⑶⑶⑶⑶带分数与假分数的互化带分数与假分数的互化带分数与假分数的互化带分数与假分数的互化⑷⑷⑷⑷繁分数的化简繁分数的化简繁分数的化简繁分数的化简2．．．．简便计算简便计算简便计算简便计算⑴⑴⑴⑴凑整思想凑整思想凑整思想凑整思想⑵⑵⑵⑵基准数思想基准数思想基准数思想基准数思想⑶⑶⑶⑶裂项与拆分裂项与拆分裂项与拆分裂项与拆分⑷⑷⑷⑷提取公因数提取公因数提取公因数提取公因数⑸⑸⑸⑸商不变性质商不变性质商不变性质商不变性质⑹⑹⑹⑹改变运算顺序改变运算顺序改变运算顺序改变运算顺序①①①①运算定律的综合运用运算定律的综合运用运算定律的综合运用运算定律的综合运用②②②②连减的性质连减的性质连减的性质连减的性质③③③③连除的性质连除的性质连除的性质连除的性质④④④④同级运算移项的性质同级运算移项的性质同级运算移项的性质同级运算移项的性质⑤⑤⑤⑤增减括号的性质增减括号的性质增减括号的性质增减括号的性质⑥⑥⑥⑥变式提取公因数变式提取公因数变式提取公因数变式提取公因数形如形如形如形如：：：：1212......(......)nnabababaaab÷±÷±±÷=±±±÷3．．．．估算估算估算估算求某式的整数部分求某式的整数部分求某式的整数部分求某式的整数部分：：：：扩缩法扩缩法扩缩法扩缩法4．．．．比较大小比较大小比较大小比较大小①①①①通分通分通分通分a.通分母通分母通分母通分母b.通分子通分子通分子通分子②②②②跟跟跟跟““““中介中介中介中介””””比比比比③③③③利用倒数性质利用倒数性质利用倒数性质利用倒数性质若若若若111abc，，，，则则则则cba.。。。。形如形如形如形如：：：：312123mmmnnn，，，，则则则则312123nnnmmm。。。。5．．．．定义新运算定义新运算定义新运算定义新运算6．．．．特殊数列求和特殊数列求和特殊数列求和特殊数列求和运用相关公式运用相关公式运用相关公式运用相关公式：：：：①①①①()21321+=++nnnL②②②②()()612121222++=+++nnnnL③③③③()21nannnn=+=+④④④④()()412121222333+=++=+++nnnnLL⑤⑤⑤⑤131171001×××=×=abcabcabcabc⑥⑥⑥⑥()()bababa−+=−22⑦⑦⑦⑦1+2+3+41+2+3+41+2+3+41+2+3+4…………（（（（nnnn----1111））））+n++n++n++n+（（（（nnnn----1111））））++++…………4+3+2+1=n4+3+2+1=n4+3+2+1=n4+3+2+1=n2二二二二、、、、数论数论数论数论1．．．．奇偶性问题奇偶性问题奇偶性问题奇偶性问题奇奇奇奇±奇奇奇奇=偶偶偶偶奇奇奇奇××××奇奇奇奇=奇奇奇奇奇奇奇奇±偶偶偶偶=奇奇奇奇奇奇奇奇××××偶偶偶偶=偶偶偶偶偶偶偶偶±偶偶偶偶=偶偶偶偶偶偶偶偶××××偶偶偶偶=偶偶偶偶2．．．．位值原则位值原则位值原则位值原则形如形如形如形如：：：：abc=100a+10b+c3．．．．数的整除特征数的整除特征数的整除特征数的整除特征：：：：整除数整除数整除数整除数特特特特征征征征2末尾是末尾是末尾是末尾是0、、、、2、、、、4、、、、6、、、、83各数位上数各数位上数各数位上数各数位上数字字字字的和是的和是的和是的和是3的倍数的倍数的倍数的倍数5末尾是末尾是末尾是末尾是0或或或或59各数位上数各数位上数各数位上数各数位上数字字字字的的的的和是和是和是和是9的倍数的倍数的倍数的倍数11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和奇数位上数字的和与偶数位上数字的和奇数位上数字的和与偶数位上数字的和奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，，，，两者之差是两者之差是两者之差是两者之差是11的倍数的倍数的倍数的倍数4和和和和25末两位数是末两位数是末两位数是末两位数是4（（（（或或或或25））））的倍数的倍数的倍数的倍数8和和和和125末三位数是末三位数是末三位数是末三位数是8（（（（或或或或125））））的倍数的倍数的倍数的倍数7、、、、11、、、、13末三位数与前几位数的差是末三位数与前几位数的差是末三位数与前几位数的差是末三位数与前几位数的差是7（（（（或或或或11或或或或13））））的倍数的倍数的倍数的倍数4．．．．整除性质整除性质整除性质整除性质①①①①如果如果如果如果c|a、、、、c|b，，，，那么那么那么那么c|(a±b)。。。。②②②②如果如果如果如果bc|a，，，，那么那么那么那么b|a，，，，c|a。。。。③③③③如果如果如果如果b|a，，，，c|a，，，，且且且且（（（（b,c））））=1,那么那么那么那么bc|a。。。。④④④④如果如果如果如果c|b,b|a,那么那么那么那么c|a.⑤⑤⑤⑤a个个个个连连连连续自然续自然续自然续自然数中必数中必数中必数中必恰恰恰恰有一有一有一有一个个个个数能数能数能数能被被被被a整除整除整除整除。。。。5．．．．带带带带余余余余除法除法除法除法一般一般一般一般地地地地，，，，如果如果如果如果a是整数是整数是整数是整数，，，，b是整数是整数是整数是整数（（（（b≠≠≠≠0））））,那么那么那么那么一定有一定有一定有一定有另外另外另外另外两两两两个个个个整数整数整数整数q和和和和r，，，，0≤≤≤≤r＜＜＜＜b,使得使得使得使得a=b××××q+r当当当当r=0时时时时，，，，我们称我们称我们称我们称a能能能能被被被被b整除整除整除整除。。。。当当当当r≠≠≠≠0000时时时时，，，，我们称我们称我们称我们称aaaa不能不能不能不能被被被被bbbb整除整除整除整除，，，，rrrr为为为为aaaa除以除以除以除以bbbb的的的的余余余余数数数数，，，，qqqq为为为为aaaa除以除以除以除以bbbb的不的不的不的不完完完完全全全全商商商商（（（（亦亦亦亦简简简简称称称称为商为商为商为商）。）。）。）。用带用带用带用带余余余余数除式数除式数除式数除式又又又又可以可以可以可以表示表示表示表示为为为为aaaa÷÷÷÷bbbb====qqqq……………………r,r,r,r,0≤≤≤≤r＜＜＜＜ba=bbbb××××qqqq++++rrrr6.6.6.6.唯唯唯唯一分解定理一分解定理一分解定理一分解定理任何任何任何任何一一一一个个个个大于大于大于大于1111的的的的自然自然自然自然数数数数nnnn都都都都可以写成质数的连乘可以写成质数的连乘可以写成质数的连乘可以写成质数的连乘积积积积，，，，即即即即n=n=n=n=pppp11111a××××pppp22222a××××............××××ppppkkkkak7.约约约约数数数数个个个个数与数与数与数与约约约约数和定理数和定理数和定理数和定理设设设设自然自然自然自然数数数数nnnn的质因子分解式如的质因子分解式如的质因子分解式如的质因子分解式如n=n=n=n=pppp11111a××××pppp22222a××××............××××ppppkkkkak那么那么那么那么：：：：nnnn的的的的约约约约数数数数个个个个数数数数：：：：d(d(d(d(nnnn))))====(a(a(a(a1+11+11+11+1)(a)(a)(a)(a2+12+12+12+1)....(ak)....(ak)....(ak)....(ak+1+1+1+1))))nnnn的的的的所所所所有有有有约约约约数和数和数和数和：（：（：（：（1+1+1+1+PPPP1+1+1+1+PPPP11112++++…………pppp11111a）（）（）（）（1+1+1+1+PPPP2+2+2+2+PPPP22222++++…………pppp22222a））））…………（（（（1+1+1+1+PkPkPkPk++++PkPkPkPk2++++…………ppppkkkkak））））8.同同同同余余余余定理定理定理定理①①①①同同同同余余余余定义定义定义定义：：：：若两若两若两若两个个个个整数整数整数整数a，，，，b被自然被自然被自然被自然数数数数m除有相同的除有相同的除有相同的除有相同的余余余余数数数数，，，，那么称那么称那么称那么称a，，，，b对于对于对于对于模模模模m同同同同余余余余，，，，用式子用式子用式子用式子表示表示表示表示为为为为a≡≡≡≡b(modm)②②②②若两若两若两若两个个个个数数数数a，，，，b除以同一除以同一除以同一除以同一个个个个数数数数c得到得到得到得到的的的的余余余余数相同数相同数相同数相同，，，，则则则则a，，，，b的差一定能的差一定能的差一定能的差一定能被被被被c整除整除整除整除。。。。③③③③两数的和除以两数的和除以两数的和除以两数的和除以m的的的的余余余余数数数数等等等等于于于于这这这这两两两两个个个个数分数分数分数分别别别别除以除以除以除以m的的的的余余余余数和数和数和数和。。。。④④④④两数的差除以两数的差除以两数的差除以两数的差除以m的的的的余余余余数数数数等等