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第1章绪论一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分)1、近似数0.231x∗=关于真值0.229x=有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）4。2、取31732.≈计算431()x=−，下列方法中哪种最好？（）(1)28163−；(2)2423()−；(3)216423()+；(4)41631()+。3、下列说法中不属于数值方法设计中的可靠性分析的是（）。（1）方法收敛性；（2）方法的稳定性；（3）方法的计算量；（4）方法的误差估计。4、下列说法错误的是（）。（1）如果一个近似数的每一位都是有效数字，则称该近似数为有效数；（2）凡是经“四舍五入”得到的近似数都是有效数；（3）数值方法的稳定性是指初始数据的扰动对计算结果的影响；（4）病态问题是由数学问题本身的性质决定的，与数值方法有关。5、已知近似数x∗的相对误差限为0.3％,则∗x至少有（）位有效数字。（1）1；（2）2；（3）3；（4）5。二、填空题（每小题3分，共计15分）1、设π的近似数π∗有4位有效数字，则其相对误差限为_______。2、x∗的相对误差约是x∗的相对误差的倍。3、计算球体积时要使相对误差限为10%，问测量半径时允许的相对误差限是。4、规格化浮点数系2412(,,,)F=−中一共有个数5、用数1112[]e−+作为计算积分10xIedx−=∫的近似值，产生的主要误差是。三、（13分）对于有效数1233.105,0.001,0.100xxx∗∗∗=−==，估计下列算式是相对误差限21123212333;;xyxxxyxxxyx∗∗∗∗∗∗∗∗=++==。四、（16分）写出下列各题的合理计算路径，使计算结果更精确（不必计算结果），并说明理由。（1）101cos,sinxxxx−≠且；（2）111121,xxxx−−++；1（3）111,xxxxx+−−；（4）1211,xxdtxt++∫；五、（15分）设序列{}ny满足递推关系110112,,,nnyyn−=−=L，若02141.y=≈，计算到10y时误差有多大？计算过程是否稳定？如果不稳定，试给出一种稳定的计算方法，并说明理由。六、（13分）已测得某场地长x的值为110x∗=米，宽y的值为80y∗=米，已知02.xx∗−≤米，01.yy∗−≤米。试求面积sxy=的绝对误差限和相对误差限。七、（13分）设x的近似数*x表示为12010mknx.aaaa∗=±×LL，证明：若ka是有效数字，则其相对误差不超过11102()k−−×；若已知相对误差re∗，且1102kre∗−≤×，则ka必为有效数字。。第1章绪论参考答案一、选择题（15分，每小题3分)1、(2)2、(3)3、(3)4、(4)5、（2）二、填空题（15分，每小题3分）1、31102−×；2、12；3、130；4、33；5、截断（方法）误差三、（13分）解：已知有效数的绝对误差限为123()()()0.0005exexex∗∗∗===，-------------（2分）从而相对误差限为123()0.00016,()0.5,()0.005rrrexexex∗∗∗===，1123()()()()0.0015reyexexex∗∗∗∗≈++=，--------------------------------（4分）由绝对误差限的传播关系式得2231132123()()()()eyxxexxxexxxex∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗≈++，23232331()()()()xeyexexxx∗∗∗∗∗∗≈+，--------------------------------（7分）所求算式的相对误差限为111()0.0015()0.00053.004reyeyy∗∗∗≈≤≈，221232()()()()()0.50516rrrreyeyexexexy∗∗∗∗∗∗≈≤++≈，33233()()()()0.505rrreyeyexexy∗∗∗∗∗≈≈+=。--------------------------------（13分）四、（16分）解：（1）22122222sincostansinsinxxxxxxcox−==（避免很小的数作除数）；------（4分）（2）2112121121()()xxxxxx−−=++++（避免相近的数相减）；-----------------（8分）1（3）21121111()xxxxxxxxxxxxxx+−−==++−++−（理由同（2））；--------------------------------（12分）（4）1221111arctan()arctan()arctanxxdtxxtxx+=+−=+++∫（理由同（2））（利用公式1tantantan()tantanxyxyxy−−=+即得）。--------------------------------（16分）五、（15分）解：0141.y∗=，则20001102eyy∗∗−=−=×，--------------------------------（2分）根据递推公式得到：1111101010101010nnnnnnnnneyyyyyyee∗∗∗∗−−−−∗∗−=−=−=−===L--------------------------------（6分）当10n=时，101028100111010101022ee∗∗−==××=×，故该方法不稳定。---（9分）将递推公式改写为111121010,,,nnyyn−=+=L，--------------------------------（12分）则有111110nnnnneyyyy∗∗∗−−−=−==−，2112111010nnnnneyyyy∗∗∗−−−=−=−，0110nnneyy∗∗==−，--------------------------------（14分）由此可以看出，如果倒着计算，误差会递减，但必须知道ny的值。-----------（15分）六、（13分）解：因为,,sssxyyxxy∂∂===∂∂，--------------------------------（2分）()0.2xε∗=，()0.1yε∗=，--------------------------------（6分）绝对误差限()()()()sxyxyyxεεεε∗∗∗∗∗∗∗=≈+11001800227..=×+×=；2--------------------------------（10分）相对误差限()27()0.31%11080rsssεε∗∗∗=≈=×。------------------------------（13分）七、（13分）解：ka是有效数字，根据有效数字的定义知1102mkxx∗−−≤×，------------（3分）且111101010mmx∗−−≥××=，--------------------------------（5分）111101210102()mkkmrxxex−∗∗−−−∗×−∴=≤=×。------------------------------（8分）另一方面，10mx∗≤，1102krxxex∗∗−∗−=≤×，-------------------------------（10分）11101022kmkxxx∗−∗−∴−≤××≤×，--------------------------------（12分）所以ka必为有效数字，即*x至少有k位有效数字。-------------------------------（13分）第2章非线性方程（组）的数值解法一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题3分，共计15分)1、已知方程3250xx−−=在区间23[,]存在唯一正根，若用二分法计算，至少迭代（）次可以保证误差不超过31102−×。(1)5；(2)7；(3)10；(4)12。2、已知求方程0()fx=在区间[,]ab上的根的不动点迭代为1012(),,,,kkxxkϕ+==L，对于其产生的数列{}kx，下列说法正确的是（）(1)若数列{}kx收敛，则迭代函数()xϕ唯一；(2)若对1[,],()xabxϕ′∀∈，则{}kx收敛；(3)若1[,],()xabxϕ′∀∈，则{}kx收敛；(4)若1[,],()xabxLϕ′∀∈≤，则{}kx收敛。3、若迭代法12223kkkxaxx+=+收敛于2，且要求收敛阶尽量高，则a的值为（）。(1)13；(2)23；(3)13；(4)23。4、求方程根的二分法的收敛阶为（）（1）线性收敛；（2）超线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。5、解非线性方程()0fx=的牛顿迭代法的收敛阶为（）。（1）线性收敛；（2）局部线性收敛；（3）平方收敛；（4）局部平方收敛。二、填空题（每小题3分，共计15分）1、若使迭代公式2125kkkkqaraxpxxx+=++产生的序列收敛到3a，并使其收敛阶尽可能高，则常数,,pqr的值分别为____________________。2、设函数()fx在区间[,]ab上有足够阶连续导数，[],pab∈为()fx的一个m重零点，则迭代公式1()()kkkkfxxxmfx+=−′的收敛阶至少是_______。13、求方程根的割线法的收敛阶为____。4、设向量函数32222(,)xyFxyxxy⎡⎤−=⎢⎥+⎣⎦，则其导函数在点12(,)值12(,)F′=。5、求5的Newton迭代格式为。三、（12分）已知方程220sinxx−−=在122[,]π内存在唯一根，（1）试建立一种收敛于方程根的迭代方法，并说明收敛的理由；（2）写出相应的Steffenson迭代格式，并以015.x=为初值迭代一步。四、（12分）应用牛顿法于方程0nfxxa=−=()和10nafxx=−=()，分别导出求na的迭代公式，并求极限12nkknkaxax+→∞−−lim()。五、（12）方程3680xx−−=在3x=附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(1)368xx=+对应迭代格式3168nnxx+=+；(2)86xx=+对应迭代格式186nnxx+=+；(3)358xxx=−−对应迭代格式3158nnnxxx+=−−。判断迭代格式在03x=的收敛性，选一种收敛格式计算3x=附近的根，精确到小数点后第二位。六、（12分）对于下列两个方程，（1）4xxx+=cossin，（2）42xx=−，问能不能用迭代法求解？如果不能时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式，并说明理由。七、（12分）考虑下述修正的牛顿迭代公式：10nnnnnnnnnfxfxfxfxxxDnDfx++−=−=≥()(())(),,()假定0fx∗′≠()，证明它对单根是一个二阶方法。八、（10分）设3xxxϕ=+()，0x=为xϕ()的一个不动点，验证下列迭代法100kkxxxϕ+=≠(),不收敛，但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的；并说明斯蒂芬森迭代计算xϕ()的不动点0x=时的收敛阶。2第2章非线性方程（组）的数值解法参考答案一、选择题（15分，每小题3分)1、(3)2、(4)3、(2)4、(1)5、(4)二、填空题（15分，每小题3分）1、51,99pqr===；2、2；3、1.618或152+；4、381264(,)F−⎡⎤′=⎢⎥⎣⎦；5、1522kkkxxx+=+三、（12分）解：（1）122012sinsinxxxx−−=⇒=+，，迭代函数112()sinxxϕ=+，迭代格式1110122sin;,,,kkxxk+=+=L------------------------------------------------------------------（3分）当052[.,]xπ∈时，11122()cosxxLϕ′=≤=，故该迭代格式收敛。------------（6分）相应的Steffenson迭代格式：210122(());,,,((())())kkkkkkkxxxxkxxxϕϕ