数列经典例题

试卷第1页，总37页数列与线性规划1．已知数列na的前n项和为nS，满足211122,3nnnSnSnnnNa，则数列na的通项na（）A．41nB．21nC．3nD．2n【答案】A【解析】试题分析：当1n时，2213234,7aa，故A选项正确.考点：数列求通项．2．已知数列na中,45nan,等比数列nb的公比q满足1(2)nnqaan,且12ba,则12nbbb（）A.14nB.41nC.143nD.413n【答案】B【解析】试题分析：依题意有124,3qba，故134nnb，所以134nnb，这是一个等比数列，前n项和为3144114nn.考点：等比数列的基本性质．3．设nS是等差数列{}na的前n项和，若5359aa，则95SS（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】试题分析：199515539()9215()52aaSaaaSa．故选A．考点：等差数列的前n项和．4．在等比数列na中，1401aa，则能使不等式12312311110nnaaaaaaaa成立的最大正整数n是（）A.5B.6C．7D．8【答案】C【解析】试卷第2页，总37页试题分析：设公比为q,则1231231111nnaaaaaaaa，即111111111nnaqaqqq，将131aq代入得：7nqq，1,7qn．考点：（1）数列与不等式的综合；（2）数列求和.【方法点晴】本题考查数列和不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．将不等式转化为两个等比数列之和，解不等式，对于在选择题中，该题还可以计算出721,aaa，可得0111772211aaaaaa，可得不等式成立的最大整数n.5．数列na中，11nnan，9nS，则n（）A.97B.98C．99D．100【答案】C【解析】试题分析：由nnnnan111，∴21321nSnn119n，所以99n，故选C.考点：数列求和.6．已知*111,nnnaanaanN，则数列na的通项公式是（）A．nB．11nnnC．2nD．21n【答案】A【解析】试题分析：由已知整理得11nnnaan，∴nanann11，∴数列nan是常数列．且111anan，∴nan，故选项为A.考点：数列的递推式.【一题多解】当2n时，11nnaann，2121nnaann，…，2323aa，1212aa，两试卷第3页，总37页边分别相乘得naan1.又∵11a，∴nan．7．在数列na中，1112,1nnnaaaa，则2016a（）A．－2B．13C.12D．3【答案】D【解析】试题分析：由条件可得：21a，312a，213a，34a，25a，316a，…，所以数列na是以4为周期的数列，所以342016aa，故选项为D.考点：数列的函数特性.8．已知数列na满足11a，12(2,)nnaannN，则数列na的前6项和为（）A．63B．127C．3263D．64127【答案】C【解析】试题分析：11122nnnnaaaa，所以数列是等比数列，公比为12616163132aqSq考点：等比数列求和9．三个实数,,abc成等比数列，且3abc,则b的取值范围是（）A.)0,1[B.]10，（C.]3,0()0,1[D.]1,0()0,3[【答案】D【解析】试题分析：设此等比数列的公比为q，∵3abc，∴3bbbqq，∴311bqq．当0q时，3121b，当且仅当1q时取等号，此时01b，；当0q时，3321b，当且仅当1q时取等号，此时30b，．∴b的取值范围是3001，，．故选：D．考点：等比数列的性质．【思路点睛】本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式的性质、分类讨论思想方法，试卷第4页，总37页考查了推理能力与计算能力；解答本题时，首先设此等比数列的公比为q，由3abc，可得3bbbqq，变形为311bqq．对q分类讨论，再利用基本不等式的性质即可得出．10．等比数列}na{中，已知对任意正整数n，maaaann2321，则2232221naaaa等于()A.)4(31mnB.)12(31nC.)14(nD.2)2(mn【答案】A【解析】试题分析：∵当2n时，124aam，当1n时，12am，∴22a，∴公比22qm，∴等比数列{}na是首项是1，公比是22m的等比数列，∵2221224ama，，∴等比数列2{}na是首项是1，公比是222m的等比数列，∴222221222321122(4)3212nnnmmmmaaaa，故选A．考点：等比数列的性质.11．已知数列na的各项均为正数，其前n项和为nS，若2logna是公差为1的等差数列，且638S，则1a等于（）A．421B．631C．821D．1231【答案】A【解析】试题分析：因为2logna是公差为1的等差数列，所以21log112211loglog1,22annnnaanaa，61111131...,24328Saa421，故选A.考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前n项和公式.12．已知等比数列}{na满足421aa，1232aa，则5a（）A．64B．81C．128D．243【答案】B【解析】试卷第5页，总37页试题分析：设等比数}{na的公比为q，由421aa，1232aa，得11211412aaqaqaq，解得113aq，所以4451381aaq，故选B.考点：等比数列的通项公式.13．设}{na为等差数列，若11101aa，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，nA．18B．19C．20D．21【答案】C【解析】试题分析：∵nS有最小值，∴d＞0，故可得1011aa，又11101aa：20120101110100Saaaa，1910190Sa∴20S为最小正值考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和14．数列{}na满足11a且1122nnnnaaaa2n则na（）A.21nB.22nC.2()3nD.12()3n【答案】A【解析】试题分析：由递推公式可得111112nnnaaa为等差数列，公差为12，首项为1，所以通项公式为111211221nnnnaan考点：等差数列15．已知等比数列na中,262,8aa,则345aaa（）A．64B．64C．32D．16【答案】B【解析】试题分析：由等比数列的性质可知226416aaa,而246,,aaa同号,故44a，所以3345464aaaa.考点：等比数列的性质．16．已知0,0ab，若不等式3103mabab恒成立，则m的最大值为（）A．4B．16C．9D．3试卷第6页，总37页【答案】B【解析】试题分析：依题意3133310bamababab，331016baab，故16m.考点：不等式．17．若正数yx,满足xyyx53，则yx43的最小值是（）A.524B.528C.5D.6【答案】C【解析】试题分析：235323,5xyxyxyxy，2324342124355xyxy.由xyyx53两边除以5xy得13155yx，131331213123455555555xyxyyxyx，当且仅当31255xyyx即11,2xy时等号成立.考点：基本不等式．【思路点晴】本题考查基本不等式.基本不等式需要满足一正二定三相等，也就是说，利用基本不等式必须确保每个数都是正数，必须确保右边是定值，必须确保等号能够成立.本题若不不小心忘记检验等号是否成立，会产生如下的错解：235323,5xyxyxyxy，2324342124355xyxy.连用两次基本不等式，等号不是同时成立.18．已知0,0ab，则336abab的最小值是（）A．10B．122C．12D．20【答案】C【解析】试题分析：3366612abababab．故选C.考点：基本不等式．【易错点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．试卷第7页，总37页19．若变量x，y满足约束条件,1,1,yyxxy且yxz2的最大值和最小值分别为m和n，则nm（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，将交点代入2zxy可求得最大值为3，最小值为3，差为8.考点：线性规划．20．点,Mxy是不等式组0333xyxy表示的平面区域内的一动点，且不等式20xym恒成立，则m的取值范围是（）A．323mB．3mC．0mD．123m【答案】B【解析】试题分析：若20xym总成立，即2myx总成立，设2zyx即求z的最大值即可，作出不等式组的平面区域如图，由2zyx得2yxz，则图象可知当直线经过点(0,3)C时，直线的截距最大，此时z最大，303,3zm，故选B.考点：简单的线性规划．试卷第8页，总37页21．变量,xy满足约束条件12314yxyxy，若使zaxy取得最大值的最优解有无数个，则实数a的取值集合是（）A．3,0B．3,1C．0,1D．3,0,1【答案】B【解析】试题分析：不等式对应的平面区域如图：由zaxy得yaxz，若0a时，直线yaxzz，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件，若0a，则直线yaxz截距取最大值时，z取最大值，此时满足直线yaxz与与2yx平行，此时1a解得1a，若0a，则直线yaxz截距取最大值时，z取最大值，此时满足直线yaxz与314yx平行，此时3a解得3a．综上满足条件的1a或3a，故选B.考点：简单线性规划．【易错点睛】作出不等式对应的平面区域，利用zaxy的取得最大值的最优解有无穷个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．本题主要考查了线性规划的应用，利用z的几何意义，结合zaxy取得最大值的最优解有无穷个，利用数形结合是解决本题的根据．22．已知变量yx,满足约束条件：