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第五章习题课2竖直面内的圆周运动学习目标1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法.考试要求必考加试dd内容索引Ⅰ重点知识探究Ⅱ当堂达标检测Ⅰ重点知识探究如图1所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内做圆周运动.试分析：(1)当小球在最低点A的速度为v1时，求绳的拉力FT1.图1答案最低点：FT1＝mg＋mv21L答案一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型导学探究(2)当小球在最高点B的速度为v2时，求绳的拉力FT2.答案最高点：FT2＝mv22L－mg(3)小球过最高点的最小速度是多大？答案由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋mg＝mv22L可知，当FT2＝0时，v2最小，最小速度为v0＝gL.答案(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件.gL答案当v时，所需的向心力Fn＝mg.此时，重力mg的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了.绳拉球过最高点的条件是：v≥gLmv2LgL.答案(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A的速度应满足什么条件？答案与绳拉球模型相似，如图所示，在最高点A时，有FN＋mg＝当FN＝0时，v最小为v0＝，当v＝v0时，小球刚好能够通过最高点，当vv0时，球偏离轨道，不能过最高点.当vv0时，小球能够通过最高点.mv2r，gr答案轻绳模型(如图2所示)的最高点问题1.绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).知识深化图22.在最高点的动力学方程FT＋mg＝mv2r.vgr时，小球不能达到最高点.即轻绳模型的临界速度为v临＝gr.vgr时，小球受向下的拉力或压力.3.在最高点的临界条件为FT＝0，此时mg＝mv2r，则v＝gr.v＝gr时，拉力或压力为零.例1一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm.(g取10m/s2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位小数)解析图3答案2.24m/s答案(2)若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力大小.答案4N解析此时桶底对水有向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝代入数据可得：FN＝4N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4N.v2l，答案解析针对训练如图4所示，用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为D.小球过最低点时绳子的拉力可以小于小球重力√答案解析图4gl长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直面内做圆周运动.(如图5，重力加速度为g)(1)当小球在最高点B的速度大小为v1时，求杆对球的作用力.二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型导学探究图5答案(2)杆拉球过最高点的最小速度为多少？答案答案由(1)中的分析可知，杆拉球过最高点的最小速度为零.(3)试分析光滑圆管竖直轨道中(轨道半径为R)，小球过最高点时受管壁的作用力与速度大小的关系？答案以竖直向下为正方向，设管壁对球的作用力为FN.则有FN＋mg＝mv2R即FN＝mv2R－mg当v＝gR时，FN＝0，当vgR时，FN0，即上管壁对球有向下的压力；当0vgR时，FN0，即FN竖直向上，下管壁对球有向上的支持力.答案轻杆和管道模型1.最高点的最小速度如图6所示，轻杆上固定的小球和管道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.知识深化图62.小球通过最高点时，杆或管道对小球的弹力情况(1)v，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v增大而增大.(2)v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0.(3)0v，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小.3.小球能过最高点的条件：v＝0.RgRgRg例2长L＝0.5m的轻杆，其一端连接着一个零件A(可视为质点)，A的质量m＝2kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图7所示.在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g＝10m/s2).(1)A的速率为1m/s；图7解析答案16N答案(2)A的速率为4m/s.答案44N答案解析代入数据v2＝4m/s，可得F′＝m(v22L－g)＝2×(420.5－10)N＝44N，即A受到杆的拉力为44N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44N.解析例3如图8所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则A.v的最小值为B.v若增大，球所需的向心力也增大C.当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D.当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力逐渐减小解析图8gLgLgL√答案当堂达标检测Ⅱ1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的轻绳的一端，系一个连同水的总质量为m＝0.5kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g＝10m/s2)A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N1234图9√答案解析2.(轨道约束下小球的运动)如图10所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道.质量为m的游客随过山车一起运动，当游客以速度v经过圆轨道的最高点时A.处于超重状态B.向心加速度方向竖直向下C.速度v的大小一定为D.座位对游客的作用力为1234图10gRmv2R解析答案√3.(球在管形轨道中的运动)如图11所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是A.小球通过最高点时的最小速度是B.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在最高点时，管道只能对小球产生向上的作用力D.小球在最高点时，管道只能对小球产生向下的作用力答案1234图11解析圆形管道外侧、内侧都可以对小球产生弹力，小球在最高点时管道既可对小球产生向上的作用力，也可产生向下的作用力，小球最小速度可以是零，故B正确.解析Rg√4.(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0.2kg的小球固定在长为0.9m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g＝10m/s2)求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？1234答案3m/s解析当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝mv20R，解得v0＝3m/s.答案解析(2)当小球在最高点的速度分别为6m/s和1.5m/s时，球对杆的作用力.答案答案6N，方向竖直向上1.5N，方向竖直向下解析v1＞v0，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝由牛顿第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6N，方向竖直向上.解析1234mv21R，v2＜v0，由牛顿第二定律得：mg－F2＝mv22R，由牛顿第三定律得：F2′＝F2，解得：F2′＝1.5N，方向竖直向下.