第五章 光的衍射

1125.1光的衍射引言衍射使屏障以后的空间光强分布，既区别于几何光学给出的光强分布，又区别于光波自由传播时的光强分布，衍射光强有了一种重新分布！光波在传播过程中遇到障碍物时，会偏离原来的传播方向弯入障碍物的几何影区内，并在障碍物后的观察屏上呈现光强的不均匀分布，这种现象称为光的衍射。1、光的衍射概论3各种光孔的衍射图样4用激光束观察单缝衍射现象衍射表现出光波的传播行为具有:1)、“限制与扩展”~衍射发散角；,;,2)、缝宽与波长~~敏感因素3)、理论上给出:5衍射程度被粗分为三档。当高亮度的激光束引入衍射实验以后。衍射现象很不明显，近乎直线传播；但边缘衍射效应仍不可忽视。衍射现象显著，出现衍射花样。衍射现象过于明显向散射过渡。具有实际意义与理论意义。6衍射是一切波动均具有的传播行为。与声波衍射、水波衍射相比，光波衍射不易观察到。原因两点：一是可见光的波长极短，二是普通光源是非相干的面光源。既要求光源是足够小的“点”，又要求在远处有足够的光强，这条件是苛刻的。72、基尔霍夫标量衍射理论光是一种电磁波，光通过小孔的衍射问题可以作为电磁场的边值问题来求解。这种方法的缺点是比较复杂。实际所用的衍射理论都是一些近似的解法。本章主要介绍的是基尔霍夫标量衍射理论（也是一种近似理论）。可以解决多数的光学仪器中的衍射问题。其适用条件是：傍轴、自然光！这在实验上是不难被满足的。83、衍射系统及其分类前场照明空间,照明波一般较简单，后场衍射空间,衍射波一般较复杂。理论目标是00(,)(,)ExyExy99衍射的分类104、衍射巴比涅原理反映互补屏的两个衍射场之关系巴比涅原理中的一对互补屏在衍射积分式中，积分区间(光孔)12()=()+()EpEpEp11220012()()()=+EpEpEp屏造成的衍射场屏造成的衍射场光波通行无阻时自由光场意义:一旦求得,则其互补屏之衍射场就容易地获得，因为自由场通常显而易见。()Ep21()=()-()EpEpEp1()Ep11巴比涅原理的实验显示(a)、(b)是一对互补屏，(c)、(d)是相应的夫琅禾费衍射图样125.2惠更斯-菲涅耳原理一．惠更斯-菲涅耳原理及其数学表达式场点的扰动可被视为，波前上所有次波源所贡献的次级扰动的相干叠加。------次波相千叠加原理。1313光源S在P点产生的光振动，应等于其波面Σ上各点发出次波在P点的光振动的叠加。Q点处的元波面dσ发出的子波在P点产生的复振幅()dEP))((dEEPPP点总的复振幅为：1414基于物理上的若干基本考虑，与以下因素有关：()dEPexp()()()()ikrdEPcKEQdr引入常数c,exp()()()()ikrEPckEQdr()exp()()dEQikrrK波前上作为次波源的微分面源；次波源自身的复振幅；次波源发射球面波到达场点倾斜因子用以表明次波源的发射并非各向同性15150,()1,()02KK菲涅尔假设且有()K（1）人为假设了k(θ),未给出k(θ)和c的具体形式;（2）假设当θ≥π/2时，k(θ)＝0。事实证明，该假设不正确;惠更斯—菲涅耳原理的缺陷165.3菲涅耳-基尔霍夫衍射公式基尔霍夫指从亥姆霍兹方程方程出发，用格林公式，在k.r1近似下,给出了无源空间边值定解的积分表达式：基尔霍夫的新贡献是：明确了方向因子给出了比例系数指出波前(Σ)面并不限于等相面，凡是隔离实在的点光源与场点的任意闭合面，都可以作为衍射积分式中的积分面。1cicos(,)cos(,)()2nrnRkcos(,)cos(,)exp()()()2AnrnlikrEPEQdir1717基尔霍夫边界条件（假设)闭合面012=++（）对衍射场的贡献:210(1)()=0(2)()=0(3)EQEQ、无穷远面：、光屏面：、光孔面对场点有贡献。1818exp()cos(,)cos(,)()()2AikrnrnlEPEQdir衍射积分公式简化为：菲涅耳原理的实质：无源空间边值定解，即波前决定一切，决定观测结果;其推论：当再现或重构相同的波前，必将再现相同的观测结果，即使原物不复存在。------全息术的思想基础195.3．菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射exp()cos(,)cos(,)()()2AikrnrnlEPEQdir衍射积分公式计算比较复杂，为了能够详细讨论衍射现象，在计算的过程做一些近似以便简化计算。20（一）傍轴近似（初步近似）当孔径范围及观察范围远小于两者之间距的情况。单色平面波垂直入射时：（1）cos(n,r)=cos（θ）≈1,因此倾斜因子1cos12K即近似地把倾斜因子看作常量，不考虑它对衍射的影响2121（2）同时取r≈z1，认为r变化对振幅影响可略，但r对相位的影响不可略。取上面两个近似后有：11()()exp()EPEQikrdiz强调:不同的光孔形状（Σ）、不同的瞳函数，将产生不同的衍射场，而积分核总是这个形式。()EQ()EPexp()ikr2222（二）菲涅耳近似和夫琅和费近似要对相位因子指数中的r进行积分是比较困难，因此必须做更精确的近似来进行简化212112111212121])()(1[)()(zyyzxxzyyxxzr222221111122112222211111241111[1]28()()[()()]=128xxyyxxyyrzzzxxyyxxyyzzz如右图在衍射开孔平面和观察屏平面建立坐标系，有：应用二项式展开，得2222222111111131111[()()]228xxyyxyxxyyxyzzzzz23当z1大到使第四项以后各项对位相k·r的作用远小于π时，忽略第四项以后的高次项：这一近似即为菲涅耳近似。观察屏位于这一近似区域内所观察到的衍射现象即为菲涅耳衍射，此时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。近似后菲涅耳-基尔霍夫衍射公式为：11(,)()()exp()ExyEPEQikrdiz2211111111111(,()()[]2)xp2exxExyyikdxdyiyzzzz22111111111exp()()()2(,)exp[]ikzxikExxyydxydzzyi22221111111122xxyyxyxyrzzzz2211111()()22xxyyzzz2424在孔径外的复振幅为0则上式可写为：22111111111exp()(,)(,)exp[()()]2ikzikExyExyxxyydxdyizz——菲涅耳衍射公式2525如进一步增大z1，将观察屏移到离衍射开孔更远的地方，菲涅尔衍射公式中的第四项对位相的贡献远小于π时,忽略第四项，则有这一近似称为夫琅和费近似，在此条件下看到的衍射现象称为夫琅和费衍射，观察屏所处的区域称为夫琅和费衍射区111111122111)](exp[),(~)](2exp[)exp(),(~dydxyyxxzikyxEyxzikziikzyxE——夫琅和费衍射公式夫琅和费衍射公式要比菲涅耳衍射公式简单。实际应用中，对夫琅和费衍射可直接由以上公式进行计算22112211111122xxyyxyrzzzxyz22111112xxyyxyzzz26例：不透明屏上圆孔的直径为2cm，受波长为600nm的平行光照射，试估算菲涅尔衍射区和夫琅禾费衍射区起点到圆孔的距离。2222222111111131111[()()]()228xxyyxyxxyyxykrkzzzzz解：为满足菲涅尔近似的成立条件，要求中的第5项2221131[()()]8kxxyyz由于菲涅尔衍射光斑只是略有扩大，取2211()()2xxyy333154160004610zcmcm即125zcm27为满足夫琅禾费衍射的成立条件，要求221112xykz取111xycm22111160xyzm即菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射的观察28285.4矩孔和单缝的夫琅和费衍射一、装置与实验现象夫琅和费衍射实验装置S：单色点光源L1、L2：透镜平行光入射，焦点怎么偏离了P0点？2211111111111(,)exp[()](,)exp[()]2xyikExyikzExyxxyydxdyizzz29291zf衍射开孔平面上光的分布均匀则透镜紧贴矩孔221111111(,)exp[()](,)exp[()]2xyxyExyikfExyikxydxdyiffffsin,sinxyxylwff令称为二维衍射角,xy21111(,)exp[()]exp[()]2xyExycikfiklxwydxdyfP点的复振幅可写为302/2/21111/2/22(,)exp[()]exp[()]2sinsin22exp[()]222ababxyExycikfiklxwydxdyfiklaikwbxycabikfiklaikwbf是观察屏中心点P0处的光场复振幅cabEE)0,0(~~00P点的复振幅为：20sinsin22(,)exp[()]222klakmbxyExyEikfklakmbf3131P点的光强为：220sinsin2222klakwbIEEIklakwbsin,2xklaasin2ykwbb若令：220sinsin(,)IxyI夫琅禾费矩孔衍射强度分布公式光强可表示为：式中I0是P0点的光强度：2220=)abIcabAf（3232一、沿x轴上点的光强度分布，此时y=0，光强度公式变为20sinII分别讨论x轴和y轴上得光强分布给出单缝衍射图样相对光强分布情况!实验模型即是：矩孔的一个方向的尺寸比另一个方向大很多如ab;只在x方向有亮暗变化的衍射图样,sin2xakla光强分布情况33衍射图样的主要特征：0时，有主极大：01MII1.当00(),II即当，最大值。“零级衍射峰”其位置-----正是几何光学象点位置等光程方位20sinsin,2xklaIIa，34m处有极小值：min0I2.当对应时出现极小值！,sinam1,2m如何理解衍射公式中asinθ=mλ（m=±1;=±2…)时出现暗纹。而干涉中公式中asinθ=mλ（m=0；±1;=±2…)时出现亮纹？353522ddsin()0ddI即：tan47.3,46.2,43.1,0各级明条纹的光强比为：0083.0:017.0:047.0:1:::3210IIII表明：光强集中在中央零级明条纹处。注意：次极大值位置不在两暗纹的中间,sin2xakla缝宽a越大，衍射光光强越弱；远离中心x越大，衍射光光强很越弱；3.相邻两个暗点间存在一个极大值。3636cosma1m取，即可得相邻暗条纹的角宽度由光强极小值的表达式微分得：cosaaa或衍射角很小时：4.半角宽度0衍射反比律37不限于单缝、矩孔，一般限制波前的光孔，某方向线度为ρ，则与该方向相应的衍射发散角Δθ，可由反比公式估算。a衍射反比律公式可见：a↓